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\title[Tarea 4]{Tarea 4\\ Procesos Estoc\'asticos, Semestre 2012-II }
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%Comandos

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%Ambientes (Environments)

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\begin{document}
\maketitle
\begin{ejer}[Tomado del examen general de probabilidad del Posgrado en Ciencias Matem\'aticas, UNAM, \href{http://www.posgradomatematicas.unam.mx/contenidoEstatico/archivo/files/pdf/Examenes_Generales/Probabilidad/Probabilidad2011-1.pdf}{Febrero 2011}]
Una planta de producci\'on toma su energ\'ia de dos generadores. La cantidad de generadores al tiempo $t$ est\'a representado por una cadena de Markov a tiempo continuo $\set{X_t,t\geq 0}$ con espacio de estados $E=\set{0,1,2}$ y matriz infinit\'esimal $Q$ dada por\begin{esn}
Q=\begin{pmatrix}
-6&6&0\\
1&-7&6\\
0&2&-2
\end{pmatrix}.
\end{esn}
\begin{enumerate}
\item Encuentre la matriz de transici\'on de la cadena de Markov de los estados distintos que toma $X$, clasifique los estados, diga si existe una \'unica distribuci\'on invariante y en caso afirmativo, encu\'entrela. Calcule expl\'icitamente las potencias de la matriz de transici\'on. (Recuerde que de ser posible diagonalizar, esta es una buena estrategia.)
\item ?`Cu\'al es la probabilidad de que ambos generadores est\'en trabajando al tiempo $t$ si s\'olo uno trabaja al tiempo cero? 
\item Si $\rho_2$ denota la primera vez que ambos generadores est\'an trabajando al mismo tiempo, encuentre la distribuci\'on de $\rho_2$ cuando s\'olo un generador est\'a trabajando al tiempo cero. 
\item Encuentre la proporci\'on de tiempo asint\'otica en que los dos generadores est\'an trabajando. Si cada generador produce 2.5 MW de energ\'ia por unidad de tiempo, ?`Cu\'al es la cantidad promedio de energ\'ia producida a largo plazo por unidad de tiempo?
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}[Procesos de ramificaci\'on a tiempo continuo]
Sea $\mu$ una distribuci\'on en $\na$. A $\mu_k$ lo interpretamos como la probabilidad de que un individuo tenga $k$ hijos. Nos imaginamos la din\'amica de la poblaci\'on como sigue: a tasa $\lambda$, los individuos de una poblaci\'on se reproducen. Entonces tienen $k$ hijos con probabilidad $\mu_k$. Se pueden introducir dos modelos: uno en que el individuo que se reproduce es retirado de la poblaci\'on (nos imaginamos que muere) y otro en que no es retirado de la poblaci\'on (por ejemplo cuando se interpreta a la poblaci\'on como especies y a sus descendientes como mutaciones). En el caso particular del segundo modelo en que $\mu_1=1$, se conoce como proceso de Yule. 
\begin{enumerate}
\item Especifique un modelo de cadenas de Markov a tiempo continuo para cada uno de los modelos anteriores. A estos procesos se les conoce como procesos de ramificaci\'on a tiempo continuo.
\end{enumerate}
Nuestro primer objetivo ser\'a encontrar una relaci\'on entre procesos de ramificaci\'on a tiempo continuo y procesos de Poisson compuestos. Sea $N$ un proceso de Poisson  y $S$ una caminata aleatoria independiente de $N$ tal que $\proba{S_1=j}=\mu_{j-1}$ \'o $\mu_{j}$ dependiendo de si estamos en el primer caso o en el segundo. Sea $k\geq 0$ y definamos a $X_t=k+S_{N_t}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Diga brevemente por qu\'e $X$ es una cadena de Markov a tiempo continuo e identifique su matriz infinitesimal para ambos modelos.
\end{enumerate}
Sea ahora $\tau=\min\set{t\geq 0: X_t=0}$ y $Y_t=X_{t\wedge \tau}$. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Argumente por qu\'e $Y$ es una cadena de Markov a tiempo continuo e identifique su matriz infinitesimal.
\item Argumente por qu\'e existe un \'unico proceso $Z$ que satisface\begin{esn}
Z_t=Y_{\int_0^t Z_s\, ds}
\end{esn}y que dicho proceso es un proceso de ramificaci\'on a tiempo continuo. Sugerencia: Recuerde que las trayectorias de $Y$ son constantes por pedazos.
\end{enumerate}
Ahora nos enfocaremos en el proceso de Yule. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Escriba las ecuaciones backward de Kolmogorov para las probabilidades de transici\'on $\imf{P_t}{x,y}$. Al argumentar por qu\'e $\imf{P_{t}}{x,x}=e^{-\lambda x}$, resuelva las ecuaciones backward por medio de la t\'ecnica de factor integrante (comenzando con $\imf{P_t}{x,x+1}$) y pruebe que\begin{esn}
\imf{P_t}{x,y}=\binom{y-1}{y-x} e^{-\lambda x t}\paren{1-e^{-\lambda t}}^{y-x}.
\end{esn}
\item Al utilizar la f\'ormula para la esperanza de una variable binomial negativa, pruebe que\begin{esn}
\imf{\se_x}{Z_t}= xe^{\lambda t}.
\end{esn}
\item Pruebe que $e^{-\lambda t}Z_t$ es una martingala no-negativa y que por lo tanto converge casi seguramente a una variable aleatoria $W$.
\item Al calcular la transformada de Laplace de $e^{-\lambda t}Z_t$, pruebe que $W$ tiene distribuci\'on exponencial. Por lo tanto, argumente que casi seguramente $Z$ crece exponencialmente.
%La distribuci�n l�mite est� tomada de Beroin-Goldschmidt, ellos citan y corrigen un error de Athreya.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}
Sea $N$ un proceso Poisson de par\'ametro $\lambda$ y sea $T_n$ el tiempo de su en\'esimo salto. 
\begin{enumerate}
\item Pruebe que condicionalmente a $T_2$, $T_1$ es uniforme en $[0,T_2]$. 
\item Pruebe que si $W_1$ y $W_2$  son  exponenciales de par\'ametro $\lambda$  independientes entre si y de una variable uniforme $U$, entonces $U\paren{W_1+W_2}$ es una variable aleatoria exponencial de par\'ametro $\lambda$. 
\item Conjeture c\'omo se  generaliza lo anterior con $T_n$ y $T_1$.
\item Escriba dos programas en Octave que simulen al proceso de Poisson de par\'ametro $\lambda$ en el intervalo $[0,1]$. En uno utilizar\'a s\'olo variables exponenciales y en el otro puede utilizar una variable Poisson.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}
%Simulaci\'on de un proceso Poisson puntual... subordinador...
 Sea $\Xi$ una medida de Poisson aleatoria en $(0,\infty)\times (0,\infty)$ cuya medida de intensidad $\nu$ est\'a dada por $\imf{\nu}{ds,dx}=\indi{x>0}C/x^{1+\alpha}\, ds\,dx$. 
 \begin{enumerate}
\item Determine los valores de $\alpha$ para los cuales $\nu$ es $\sigma$-finita.
 \end{enumerate}
Nos restringimos ahora a valores de $\alpha$ para los cuales $\nu$ sea $\sigma$-finita. Sean $\imf{f_t}{s,x}=\indi{s\leq t}x$ y $X_t=\Xi f_t$. 
 \begin{enumerate}[resume]
 \item Determine los valores  de $\alpha$ para los cuales $X_t<\infty$ para toda $t\geq 0$ casi seguramente.
 \end{enumerate}
 Nos restringiremos a dichos valores de $\alpha$. 
 \begin{enumerate}[resume]
 \item Calcule $\esp{e^{-\lambda X_t}}$ y pruebe que $X_{t}$ tiene la misma distribuci\'on que $t^{1/\alpha}X_1$. 
 \item Diga por qu\'e el siguiente c\'odigo en Octave simula la trayectoria aproximada del proceso $X$ en el intervalo $[0,1]$.
\lstinputlisting{SuborEst.m}
 \end{enumerate}
\end{ejer}
\end{document}