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       language=Octave, 
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\title[Tarea 5]{Tarea 5\\ Procesos Estoc\'asticos, Semestre 2012-II }
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%Comandos
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%Ambientes (Environments)
\newenvironment{esn}{\begin{equation*}}{\end{equation*}}

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\begin{document}
\begin{ejer}[Vectores gaussianos]
\begin{enumerate}Sea $\vec{N}=\paren{N_1,\ldots,N_d}'$ una muestra de tama\~no $d$ de la distribuci\'on normal est\'andar.
\item Calcule los momentos de orden impar de $\abs{N_1}$.
\item Calcule la distribuci\'on de $\|\vec{N}\|^2$ mediante el siguiente procedimiento:
	\begin{enumerate}
		\item Calcule la densidad de $N_1^2$ e identifique la distribuci\'on.
		\item Calcule la transformada de Laplace de $N_1^2$ (es la funci\'on $u\mapsto \esp{\imf{\exp}{-u N_1^2}}$) y el\'evela a la potencia $d$ para obtener la transformada de Laplace de $\|\vec{N}\|^2$.
		  \item ÀPara qu\'e valores de $u$ es finita la transformada de Laplace de $N_1^2$?
		\item Puesto que la transformada de Laplace determina la distribuci\'on de una variable aleatoria, identifique la distribuci\'on de $\|\vec{N}\|^2$.
		  \item ÀPara qu\'e valores de $u$ es finita la transformada de Laplace de $\|\vec{N}\|^2$?
	\end{enumerate}
\item Diga por qu\'e la variable $C=N_2/N_1$ est\'a bien definida y calcule su densidad al calcular la marginal de la variable $\paren{N_1,N_2/N_1}$. Identifique la distribuci\'on de $C$. Bono especial: calcule, mediante c\'alculo de residuos, a la funci\'on caracter\'istica de $C$ al utilizar la densidad que encontr\'o. 
\item Calcule la distribuci\'on de $A=N_1^2/\paren{N_1^2+N_2^2}$ mediante el siguiente procedimiento: escriba $A=1/\paren{1+C^2}$, donde $C=N_1/N_2$ y utilice la densidad de la variable sim\'etrica $C$ que hemos calculado anteriormente. ?`Reconoce la densidad que obtuvo?
\item Sea $N$ una variable aleatoria con distribuci\'on normal est\'andar. Sea $N_a=N\indi{\abs{N}\leq a}-N\indi{\abs{N}>a}$. Utilice el teorema de convergencia dominada enunciado en clase para probar que\begin{esn}
\fund{\phi}{a}{\esp{N\cdot N_a}}
\end{esn}es continua en $[0,\infty)$. Pruebe adem\'as que $\lim_{a\to 0} \imf{\phi}{a}=-1$ y que $\lim_{a\to\infty}\imf{\phi}{a}=1$. Concluya que existe $a_*\geq 0$ tal que $\imf{\phi}{a}=0$ y concluya que aunque $N$ y $N_{a_*}$ son no correlacionadas, no son independientes. ?`Contradice esto al hecho de que para vectores gaussianos la independencia es equivalente a la auscencia de correlaci\'on?
\item Sea $N=\paren{N_1,N_2}$ un vector gaussiano centrado.
	\begin{enumerate}
	\item Pruebe que $N_1-\esp{N_1N_2}N_2$ es independiente de $N_2$
	\item Calcule una distribuci\'on condicional regular para $N_1$ dada $N_2$
	\item Si $B$ es un movimiento browniano calcule una distribuci\'on condicional regular para $B_{t/2}$ dada $B_t$ y relacione esto con la prueba de existencia del movimiento browniano de Paul L\'evy.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}
El objetivo de este ejercicio es construir, a partir de movimientos brownianos en $[0,1]$, al movimiento browniano en $[0,\infty)$.
\begin{enumerate}
\item Pruebe que existe un espacio de probabilidad $\ofp$ en el que existe una sucesi\'on $B^1,B^2,\ldots$ de movimientos brownianos en $[0,1]$ independientes. (Sugerencia: utilice la construcci\'on del movimiento browniano de L\'evy (vista en clase) para que la soluci\'on sea corta.)
\item Defina a $B_t=B^1_1+\cdots+B^{\floor{t}}_1+B^{\ceil{t}}_{t-\floor{t}}$ para $t\geq 0$. Pruebe que $B$ es un movimiento browniano. 
%\item Pruebe que $\paren{B_t}^2-t$ no tiene incrementos independientes. Sugerencia: En el ejercicio anterior identific\'o la distribuci\'on de $\paren{B_t}^2$; calcule la transformada de Laplace conjunta de dos incrementos.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}
Sea\begin{esn}
M^\lambda_t=e^{\lambda B_t-\lambda^2t/2}.
\end{esn}
\begin{enumerate}
\item Explique y pruebe formalmente por qu\'e, para toda $n\geq 1$, $\partial^n M^\lambda_t/\partial \lambda^n$ es una martingala. 
\item Sea $\imf{H_n}{x}=\paren{-1}^ne^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}$. A $H_n$ se le conoce como en\'esimo polinomio de Hermite. Calc\'ulelo para $n\leq 5$. Pruebe que $H_n$ es un polinomio para toda $n\in\na$ y que $\partial^n M^\lambda_t/\partial \lambda^n=t^{n/2}\imf{H_n}{B_t/\sqrt{t}}M^\lambda_t$. 
\item Pruebe que $t^{n/2}\imf{H_n}{B_t/\sqrt{t}}$ es una martingala para toda $n$ y calc\'ulela para $n\leq 5$. 
\item Aplique muestreo opcional a las martingalas anteriores al tiempo aleatorio $T_{a,b}=\min\set{t\geq 0:B_t\in\set{-a,b}}$ (para $a,b>0$) con $n=1,2$ para calcular $\proba{B_{T_{a,b}}=b}$ y $\esp{T_{a,b}}$, ÀQu\'e concluye cuando $n=3,4$? ?` Cree que $T_{a,b}$ tenga momentos finitos de cualquier orden? Justifique su respuesta.
\item Aplique el teorema de muestreo opcional a la martingala $M^\lambda $ al tiempo aleatorio $T_a=\inf\set{t\geq 0:B_t\geq a}$ si $\lambda>0$. Diga por qu\'e es necesaria la \'ultima hip\'otesis y calcule la transformada de Laplace de $T_a$. 
\item Opcional (para subir calificaci\'on en esta u otra tarea): 
\begin{enumerate}
\item Modifique el ejercicio para que aplique al proceso Poisson.
\item Resu\'elva el ejercicio modificado. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}%El objetivo de este ejercicio es utilizar la desigualdad maximal de Doob para probar la ley fuerte de los grandes n\'umeros para el movimiento browniano: $B_t/t\to 0$.
%Desigualdad de Doob para supremo, ley fuerte de los grandes n\'umeros para el movimiento Browniano. No necesito un supremo con dos partes>
Sea $B$ un movimiento browniano y defina $S_t=\sup_{s\leq t}B_s$, $S^*_t=\sup_{s\leq t}\abs{B_s}$. 
\begin{enumerate}
\item Sea $\alpha >0$ y recuerde que\begin{esn}
M_t=e^{\alpha B_t-\alpha^2 t/2}
\end{esn}es una martingala con trayectorias continuas. Al aplicarle la desigualdad maximal de Doob, deduzca que\begin{esn}
\proba{S_t \geq at}\leq e^{\alpha a t +\alpha^2 t/2 }.
\end{esn}
\item Minimice sobre $\alpha$ y deduzca que\begin{esn}
\proba{S_t\geq at}\leq e^{-a^2 t/2}.
\end{esn}
\item Pruebe que\begin{esn}
N_t=\imf{\cosh}{\alpha B_t}e^{-\alpha^2 t/2}
\end{esn}es una martingala y deduzca que\begin{esn}
\proba{S^*_t\geq at}\leq 2e^{-a^2 t/2}.
\end{esn}
\item Deduzca que $S_t$ y $S^*_t$ tienen momentos de cualquier orden. 
\item Pruebe que $B_n/n$ converge casi seguramente a cero conforme $n\to\infty$ y $n\in\na$. Utilice Borel-Cantelli y la independencia de los incrementos para probar que\begin{esn}
\proba{\lim_{n\to\infty}\frac{\sup_{t\in [0,1]}\abs{B_{t_n}}-B_n}{n}=0}=1.
\end{esn}Deduzca que casi seguramente $B_t/t\to 0$ conforme $t\to\infty$ y $t\geq 0$. 
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}Haga un programa en Octave para resolver los siguientes incisos:
\begin{enumerate}
\item Divida el intervalo $[0,1]$ en $2^{10}$ partes e implemente el m\'etodo de L\'evy para simular al browniano sobre los di\'adicos de orden 10. 
\item Modifique el c\'odigo anterior para obtener 100,000 trayectorias brownianas. A cada trayectoria, calc\'ulele el m\'aximo, el tiempo en que se alcanza el m\'aximo, el tiempo en que se alcanza el \'ultimo cero y el tiempo que la trayectoria es positiva y guarde los resultados en 4 vectores.
\item Compare la distribuci\'on emp\'irica de la muestra de las 4 variables aleatorias reales del inciso anterior con la distribuci\'on exacta vista en clase.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\end{document}



























