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\begin{document}
\header{Teoría de las Gráficas II}{Sexta tarea}
Se entrega el viernes siete de mayo. Todos los ejercicios bien justificados.\\
\paragraph{ }
Una \emph{cubierta de clanes} de $G$ es una colección de clanes que cubren todos los vértices de $G$.  El \emph{número de partición} de una gráfica $G$, denotado por $\rho(G)$, es la cardinalidad de la cubierta de clanes más pequeña de $G$.

Una \emph{cubierta de conjuntos independientes} de $G$ es una colección de conjuntos independientes de $G$ que cubren todos los vértices de $G$.
\begin{enumerate}
\item ¿Quién es la cardinalidad de la cubierta de conjuntos independientes más pequeña de una gráfica?
\item Prueba que para cualquier gráfica $G$,
\begin{displaymath}
 \chi(G)=\rho(\overline{G}) \quad \text{ y } \quad \rho(G)=\chi(\overline{G})\text{.}
\end{displaymath}
\item Prueba que para cualquier gráfica $G$,
\begin{displaymath}
 \omega(G) \leq \chi(G) \quad \text{ y } \quad \alpha(G) \leq \rho(G)\text{.}
\end{displaymath}
\item Considera una gráfica $G$ con conjunto de vértices $V(G)=\{v_1$, $v_2$, \ldots, $v_n\}$ y gráficas $G_1$, $G_2$, \ldots, $G_n$. Si $G$, $G_1$, $G_2$, \ldots, $G_n$ son gráficas perfectas entonces $G[G_1$, $G_2$, \ldots, $G_n]$ lo es. Pruébalo usando la definición de gráfica perfecta y no el Teorema ni el Teorema Fuerte de la Gráfica Perfecta.
\end{enumerate}
\end{document}