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}

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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{proposicion}{Proposition}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{corolario}{Corolario}
\newtheorem{conjetura}{Conjetura}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}[proposicion]{Definición}

\renewcommand{\figurename}{Figura}

\DeclareMathOperator{\mcd}{mcd}

\begin{document}
\header{Gráficas y juegos}{Primera tarea}

Lee, piensa y responde con cuidado. No olvides justificar bien tus respuestas. Se entrega por equipos de hasta dos personas.

\begin{enumerate}
	\item
\begin{enumerate}	
	\begin{sloppypar}
	\item Dibuja la gráfica cuyo conjunto de vértices es $V(G)=\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}\}$ y conjunto de aristas $A(G)=\{u_{1}u_{2},u_{1}u_{4},u_{1}u_{5},u_{2}u_{3},u_{3}u_{5}\}$.
% 	\end{sloppypar}
% 	\begin{sloppypar}
  \item Dibuja una gráfica cuyo conjunto de vértices es $V(G)=\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}\}$ y cuyo conjunto de aristas $A(G)$ sea lo más grande posible. Determina el conjunto $A(G)$.
	\item Si una gráfica es de orden $3$, ¿cuáles son los posibles tamaños de $G$?
	\end{sloppypar}
\end{enumerate}
	\item ¿Existe una gráfica $G$ de orden $5$ o más que cumpla que cada vértice de $G$ incide al menos una arista, pero no sucede que cualesquiera dos aristas son adyacentes? (Justifica tu respuesta.)
	\item Da un ejemplo de una gráfica $G$ de tamaño positivo con la propiedad de que cualquier vértice incide en cualquier arista.
	\item Da un ejemplo de una gráfica que cumpla las siguientes propiedades:
\begin{enumerate}
	\item todo vértice es adyacente a dos vértices; y
	\item toda arista es adyacente a dos aristas.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item Considera una gráfica $G$ tal que $V(G)=\{2$, $3$, $4$, $5$, $11$, $12$, $13$, $14\}$ y dos vértices $u$ y $v$ son adyacentes si y sólo si $\mcd(u$, $v)=1$.  Dibújala y determina $A(G)$.
 \item Considera $G$ una gráfica con $V(G)=\{1$, $2$, \ldots, $10\}$, tal que dos números $i$ y $j$ en $V(G)$ son adyacentes si y sólo si $\lvert i - j \rvert \leq 3$.  Dibuja la gráfica $G$ y determina $A(G)$.
 \item Considera $G$ una gráfica con $V(G)=\{1$, $2$, \ldots, $10\}$, tal que dos números $i$ y $j$ en $V(G)$ son adyacentes si  y sólo si $i+j$ es múltiplo de cuatro.  Dibuja la gráfica $G$ y determina $A(G)$.
 \item Considera $G$ una gráfica con $V(G)=\{1$, $2$, \ldots, $10\}$, tal que dos números $i$ y $j$ en $V(G)$ son adyacentes si  y sólo si $i\cdot j$ es múltiplo de diez.  Dibuja la gráfica $G$ y determina $A(G)$.
 \end{enumerate}

 \item Da un ejemplo de una situación de la vida real que pueda ser representada por una gráfica. Dibuja la gráfica que describe dicha situación.

\end{enumerate}

\section*{Extras}
\begin{enumerate}[A.]
 \item ¿Cuál es el tamaño máximo posible de una gráfica cuyo orden es $n$, donde $n$ es un entero positivo?
 \item Describe un grupo de cinco personas, en el cual cualesquiera dos
de sus miembros tienen exactamente un amigo en común. ¿Puedes
encontrar un grupo de cuatro personas con la misma propiedad?
\end{enumerate}
 

\end{document}