\documentclass[letterpaper, 12pt]{article}
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\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
 
\newcommand{\header}[2]{
	\begin{center}
 		\rule{\linewidth}{1pt}
 		\Large{#1}
 		\rule{\linewidth}{1pt}
 		\normalsize{#2}
 	\end{center}
}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{proposicion}{Proposition}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{corolario}{Corolario}
\newtheorem{conjetura}{Conjetura}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}[proposicion]{Definición}

\renewcommand{\figurename}{Figura}

\DeclareMathOperator{\cp}{cp}
\DeclareMathOperator{\cut}{c}
\DeclareMathOperator{\p}{p}


\begin{document}
\header{Teoría de las Gráficas II}{Primera tarea}

Lee, piensa y responde con cuidado. No olvides justificar bien tus respuestas\hyphenation{res-pues-tas}. La tarea se puede entregar en equipos de hasta dos personas.
\paragraph{ }

\begin{enumerate}[1.]
\item Prueba que si $G$ es un árbol entonces $\chi'(G)=\Delta(G)$.
\item Prueba que la siguiente gráfica tiene número crómatico en aristas cuatro:
% \usepackage{pgf,tikz}
% \usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49,0.49,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\begin{figure}[!h]
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
% \clip(-2.76,-6.88) rectangle (18.16,9.6);
\draw (4,4)-- (6,6);
\draw (6,6)-- (6,2);
\draw (6,2)-- (4,4);
\draw (6,4)-- (8,4);
\draw (8,4)-- (6,6);
\draw (8,4)-- (6,2);
\begin{scriptsize}
\fill [color=qqqqff] (4,4) circle (1.5pt);
\fill [color=qqqqff] (6,6) circle (1.5pt);
\fill [color=qqqqff] (6,2) circle (1.5pt);
\fill [color=xdxdff] (6,4) circle (1.5pt);
\fill [color=qqqqff] (8,4) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\item Prueba que si $G$ es euleriana y todos sus vértices son de grado dos entonces $G$ es un ciclo.
\end{enumerate}
% \subsubsection*{Extras}
% \begin{enumerate}[A.]
%  \item Considera una gráfica $G$ cuyos vértices están coloreados con $\chi(G)$ colores. Muestra que para cualquier par de colores $i$ y $j$ distintos, existen un vértice color $i$ y un vértice color $j$ tales que son adyacentes.
% 
%  \item Prueba que si cualquier par de ciclos de longitud impar en una gráfica se intersectan entonces su número cromático es a lo más cinco.
% 
% \item Prueba, mediante el uso de la fórmula de Euler, que $K_{3,3}$ no es plana.
% 
%  \item Prueba que si $G$ es una gráfica bipartita plana conexa con al menos tres vértices entonces $m$ es menor o igual que $2n-4$.
% \item Prueba que si $G$ es una gráfica plana con al menos once vértices entonces su complemento no es plana.
% 
% \end{enumerate}

\end{document}