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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}[proposicion]{Definición}

\renewcommand{\figurename}{Figura}

\DeclareMathOperator{\exc}{exc}

\begin{document}
\header{Gráficas y juegos}{Quinta tarea}

Lee, piensa y responde con cuidado. No olvides justificar bien tus respuestas\hyphenation{res-pues-tas}. La tarea se puede entregar en equipos de dos personas (si el equipo no coincide con el de la tarea anterior).
\paragraph{ }
Recuerden que las definiciones son las importantes. Para probar algo no siempre es bueno sobreargumentar (ni tampoco quedar falto de argumentos). Los mejores argumentos suelen ser los simples.


\begin{enumerate}

\item Considera $T$ un árbol y $T'$ el conjunto de hojas del árbol. Prueba que los conjuntos
\begin{displaymath}
 \{ u : \text{ para todo } v \in V(T)\text{, } \exc_{T}(u)\leq \exc_{T}(v)\}
\end{displaymath}
y
\begin{displaymath}
 \{ u : \text{ para todo } v \in V(T)\text{, } \exc_{T-T'}(u)\leq \exc_{T-T'}(v)\}
\end{displaymath}
son iguales.

\item Prueba mediante el uso de inducción que el centro de cualquier árbol es $K_1$ o $K_2$ (la prueba no debe abarcar más de media página).

\item Prueba que en un árbol $q=p-1$ por medio de inducción sobre el número de aristas.

 \item Sea $T$ un árbol de orden $n$ tal que $d(v)\in \{1,3\}$, para todo $v\in V(T)$. Prueba que $T$ contiene $\frac{n-2}{2}$ vértices de grado $3$.

  \item Encuentre todos los árboles $T$ tales que $\overline{T}$ es un árbol. 
\end{enumerate}

\section*{Extras}
 \begin{enumerate}[A.]

 \item Sabemos que un árbol cumple las siguientes propiedades:
\begin{enumerate}
\item 95 < n < 100,
\item el grado de todo vértice de $T$ es uno, tres o cinco y
\item $T$ tiene el doble de vértices de grado tres que de grado cinco.
\end{enumerate}
¿Cuánto vale $n$?
\item Considera $T$ un árbol y $n_i$ el número de vértices de grado $i$ en $T$.  ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdadera?
\begin{itemize}
\item Si $T$ no es una trayectoria entonces $n_1 \geq n_2$.
\item Si $n_2=0$ entonces $T$ tiene más hojas que otros vértices.
\end{itemize}
  \item Pruebe que el número de vértices terminales de un árbol no trivial $T$, con $V(T)=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ es: $$2+\sum_{d(v_{i})\geq 3}{(d(v_{i})-2)}$$
\end{enumerate}


\end{document}