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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}[proposicion]{Definición}

\renewcommand{\figurename}{Figura}

\DeclareMathOperator{\mcd}{mcd}

\begin{document}
\header{Seminario de análisis combinatorio}{Primera tarea}

\begin{enumerate}
\item Definir la \emph{matriz de incidencia hacia} $I^-(D)$ y usarla para demostrar que
\begin{displaymath}
 \sum_{v \in V(D)} \delta_D^-(v) = q = \lvert F(D) \rvert\text{.}
\end{displaymath}

\item Dada una digráfica $D$, si $\delta_D^-(z) \geq 1$ para todo vértice $z$ en $V(D)$ entonces $D$ tiene un ciclo dirigido. Muestra que esta cota es la mejor posible.

\item Dada una digráfica $D$, si $\delta_D^-(z) \geq k \geq 221$ para todo vértice $z$ en $V(D)$ entonces $D$ tiene una trayectoria de longitud mayor o igual que $k$. Muestra que esta costa es la mejor posible.

\item Dada una digráfica $D$, si $\delta_D^-(z) \geq k \geq 1$ para todo vértice $z$ en $V(D)$ entonces $D$ tiene un ciclo dirigido de longitud al menos $k+1$. Muestra que esta cota es la mejor posible.

\item Prueba que si una digráfica $D$ posee un camino dirigido que pasa por todos los vértices entonces $D$ es unilateralmente conexa.

\item Prueba que si $D$ es una digráfica fuertemente conexa entonces existe un camino dirigido cerrado que pasa por todos sus vértices.

\item Considera una digráfica $D$ y sea $G_D$ la gráfica subyacente de $D$. Prueba que $D$ es bipartita si y sólo si $G_D$ lo es.
\end{enumerate}

\end{document}