Universität zu Köln
Abteilung Mathematik
Hyperbolic Geometry
Sommersemester 2022

  • Semesterbeginn: 01.04.2022
    Vorlesungsbeginn: 04.04.2022
    Vorlesungsende: 15.07.2022
    Semesterende: 30.09.2022

  • Vorlesung: Hyperbolic Geometry (14722.0040)
    Mit: Prof. Dr. Daniel Labardini-Fragoso
    Wann: Mo.,Mi. 16-17.30
    Wo: Stefan Cohn-Vossen Raum Mathematik (Raum 313)
    Bereich: Geometrie und Topologie
    Belegungsmöglichkeiten:
    Mathematik: Bachelor, Master
    Wirtschaftsmathematik: Bachelor, Master
    E-mail: dlabardi@etc (etc:=uni-koeln.de)
    Lehrplan

    Übungen: Hyperbolic Geometry (14722.0041)
    Mit: Dr. Severin Barmeier
    Wann: Mo., 12-13.30
    Wo: Stefan Cohn-Vossen Raum Mathematik (Raum 313)
    Bereich: Geometrie und Topologie
    Belegungsmöglichkeiten:
    Mathematik: Bachelor, Master
    Wirtschaftsmathematik: Bachelor, Master

    Weg zu bewerten:
    Bitte lesen Sie die dritte Seite des Lehrplans.

Vorlesungsskripte und videos:

1. The Riemann Sphere
  1. The extended complex plane, the complex projective line, the unit sphere in R^3.
    04.04.2022 (week 1).
    Lecture notes: Before the lecture  After the lecture
    Video   Review

2. Möbius transformations
  1. Definition, explicit formula, standard examples.
    06.04.2022 (week 1).
    Lecture notes: Lecture notes (not modified during the lecture)
    Video Review
  2. Group structure of Möb(C), simple transitivity on triples of distinct points, circles go to circles, discs go to discs
    11.04.2022 (week 2).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  3. Simple transitivity through linear algebra, the cross ratio, explicit calculation of fixed points, commutativity and fixed points.
    13.04.2022 (week 2).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  4. Classification up to conjugation, Möbius transformations are conformal, the Steiner grid of a parabolic transformation.
    20.04.2022 (week 3).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  5. The Apollonius circles of a pair of distinct points, the Steiner grid of a non-parabolic transformation, the trace (the Möbius trace of a Möbius transformation detects the type --parabolic, elliptic, hyperbolic or loxodromic).
    25.04.2022 (week 4).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  6. SL_2(C) vs SL_2(R), SU_{1,1} vs SL_2(R):
    The elements of SL_2(R) are precisely the matrices in SL_2(C) whose associated Möbius transformations preserve the upper half plane bijectively, SL_2(R) and SU_{1,1} are conjugate subgroups of SL_2(C) via the Cayley transformation, the elements of SU_{1,1} are precisely the matrices in SL_2(C) whose associated Möbius transformations preserve the Poincaré disc bijectively, SU_{1,1} is diffeomorphic to a (non-compact) solid torus, a picture of SU_{1,1}.
    27.04.2022 (week 4).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  7. SL_2(C) vs SL_2(R), SU_{1,1} vs SL_2(R):
    A picture of SU_{1,1}.
    02.05.2022 (week 5).
    Lecture notes
    Video
    Visualization of SU_{1,1} programmed by Javier Alejandro de Loera Chávez

3. Models and isometries of the hyperbolic plane
  1. The hyperboloid:
    Minkowski's form and the hyperboloid,
    The Lorentz and proper Lorentz groups,
    (the hyperboloid is a Riemannian manifold under Minkowski's form, explicit computation of tangent spaces at points of the hyperboloid in terms of Minkowski's orthogonality, definition of the Lorentz and proper Lorentz groups).
    04.05.2022 (week 5).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  2. The hyperboloid:
    The orthochronous and restricted Lorentz groups are subgroups of Iso_Rie(M,g^M),
    from Minkowski's Hyperboloid to the Poincaré Disc and back.
    (the action of the restricted Lorentz group on the hyperboloid is transitive, the Lorentz group has exactly four connected components, the proper Lorentz group has exactly two connected components, the orthochronous Lorentz group has exactly two connected components, the restricted Lorentz group is the connected component of the identity in all of these groups, the orthochronous Lorentz group is contained in the group of Riemannian isometries of (M,g^M), the restricted Lorentz group is contained in the group of Riemannian isometries of (M,g^M) that preserve the orientation, stereographic projection between they hyperboloid and the disc, the hyperbolic metric on the Poincaré disc).
    09.05.2022 (week 6).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  3. The hyperboloid:
    from Minkowski's Hyperboloid to the Poincaré Disc and back (continuation),
    shortest curves in the hyperboloid.
    The upper half plane.
    (computation of an explicit family of shortest curves on (M,g^M), between every two points of (M,g^M) there is a shortest curve, every shortest curve on (M,g^M) is contained in the intersection of M with a 2-dimensional real vector subspace of R^3).
    11.05.2022 (week 6).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  4. The hyperboloid:
    shortest curves in the hyperboloid (conclusion).
    The upper half plane:
    the hyperbolic Riemannian metric on U,
    PSL_2(R) \subseteq Iso_{Rie}^+(U,g^U),
    shortest curves in (U,g^U).
    (theorem: every shortest curve on (M,g^M) is contained in the intersection of M with a 2-dimensional real vector subspace of R^3; definition: the hyperbolic Riemannian metric on U is defined by pulling the hyperbolic Riemannian metric of the Poincaré disc through the Cayley transformation; theorem: every Mobius transformation that bijectively preserves U is a Riemannian isometry of (U,g^U), theorem: the shortest curves on (U,g^U) are precisely the segments contained in U of the circles in CU{oo} that are orthogonal to RU{oo}).
    16.05.2022 (week 7).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  5. The upper half plane:
    hyperbolic circles in U,
    the group of Riemannian isometries of (U,g^U).
    (theorem: cosh(d_U(w,z))=1+(|w-z|^2)/(2Im(w)Im(z)); theorem: the hyperbolic circles in U are precisely the Euclidean circles contained in U; theorem: the group of orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U) is PSL_2(R)).
    18.05.2022 (week 7).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  6. The upper half plane:
    the group of Riemannian isometries of (U,g^U) (conclusion),
    geometric behavior of the Riemannian isometries of (U,g^U).
    The Poincaré Disc:
    the group of Riemannian isometries of (D,g^D),
    geometric behavior of the Riemannian isometries of (D,g^D).
    (theorem: the full group of Riemannian isometries of (U,g^U) is PS^*L_2(R); theorem: PS^*L_2(R) is a non-trivial semidirect product of PSL_2(R) with {±1}; geometric behavior of the orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U); theorem: the group of orientation-preserving Riemannian isometries of (D,g^D) is PSU_{1,1}; explicit formula for arbitrary Riemannian isometries of (D,g^D); theorem: the shortest curves in (D,g^D) are precisely the segments of circles in CU{oo} that are orthogonal to the Euclidean unit circle; theorem: the hyperbolic circles in (D,g^D) are precisely the circles in CU{oo} that are contained in D; geometric behavior of the orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U) ).
    23.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  7. Final remarks regarding the Riemannian isometry groups of the three models.
    The Beltrami-Klein Disc:
    brief remarks and useful features.
    25.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

4. Area and trigonometry
  1. Hyperbolic trigonometry:
    Angle of parallelism,
    the Cosine Laws.
    25.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Hyperbolic area:
    Definition and invariance under Riemannian isometries,
    hypebolic convexity,
    the formula of Gauss-Bonnet.
    01.06.2022 (week 9).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

5. Fuchsian groups
  1. Motivation: a Riemann surface structure for the torus.
    01.06.2022 (week 9).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Topological preliminaries:
    Some proper maps SL_2(R)->U and PSL_2(R)->U,
    Discrete sets.
    Fuchsian groups:
    Properly discontinuous actions on U vs. discrete subgroups of SL_2(R) and PSL_2(R)
    13.06.2022 (week 10).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  3. Basic algebraic, topological and geometric properties:
    Abelian Fuchsian groups,
    Torsion-free Fuchsian groups and strong proper discontinuity,
    Elliptic fixed points,
    Stabilizers are always cyclic,
    Riemann surface structure of the orbit space H/Gamma.
    15.06.2022 (week 10).
    Lecture notes  
    Video  Review
  4. Fundamental domains:
    Definition and basic properties,
    Locally finite fundamental domains,
    20.06.2022 (week 11).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  5. Fundamental domains:
    Locally finite fundamental domains (conclusion),
    The Dirichlet Polygon.
    22.06.2022 (week 11).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  6. Fundamental Domains:
    The Dirichlet polygon,
    a fundamental domain for PSL_2(Z)
    27.06.2022 (week 12).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  7. Fundamental Domains:
    Parabolic and elliptic cycles,
    Poincaré's polygon theorem.
    29.06.2022 (week 12).
    Lecture notes: After the lecture
    Video

6. Homotopy, fundamental groups and covering spaces
  1. Homotopy and the fundamental group.
    04.07.2022 (week 13).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Covering spaces and the fundamental group.
    06.07.2022 (week 13).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  3. Covering spaces and the fundamental group (conclusion).
    11.07.2022 (week 14).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

7. Moduli spaces
  1. What is a moduli problem?
    The concept of fine moduli space.
    13.07.2022 (week 14).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

8. Curvature (this topic will not be included in the final examination)

If you want to have an idea of how the notion of curvature is defined for general Riemannian manifolds, and how one arrives at the conclusion that the hyperbolic plane has constant negative curvature, I highly recommend you to watch the following three presentations of Carlos Alberto Ochoa Flores:
  1. Affine connections.
    (definition of the notion of affine connection on a differentiable manifold; theorem: every affine connection induces a parallel-transport isomorphism between the tangent spaces at the endpoins of any smooth curve on the smooth manifold).
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video
  2. The connection of Levi-Civita.
    (definition of the compatibility of a connection with a Riemannian metric, definition of the notion 'torsion-free connection', theorem: every connected Riemannian manifold admits exactly one compatible torsion-free connection).
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video
  3. The curvature tensor, sectional curvature and the curvature of the hyperbolic plane.
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video

  • Externe videos und links:
  • Möbius transformations revealed
  • Illuminating hyperbolic geometry
  • Trigonometry of the hyperbola
  • The Poincaré model from hyperboloid stereographic projection (moving point) (rotating)
  • Hyperboloid Plane Intersection
  • Semidirect products of groups (the lecture notes are here)
  • Very useful entry by Chris Jerdonek on the isometries of the Poincaré Disc model of the hyperbolic plane

  • Literatur:
    1. James Anderson. Hyperbolic geometry. Springer-Verlag. Springer Undergraduate Mathematics Series. 2007. pdf
    2. Alan F. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 91. 1983. pdf
    3. David B. Ben-Zvi. Moduli Spaces. The Princeton Companion to Mathematics (T. Gowers, J. Barrow- Green & I. Leader, (Eds.)), 408--420. Princeton University Press, 2008. pdf
    4. James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, Walter R. Parry. Hyperbolic Geometry. Flavors of Geometry (edited by Silvio Levy). Cambridge University Press, MSRI Publications, Volume 31. 1997. pdf http://library.msri.org/books/Book31/files/cannon.pdf
    5. Henri Paul de Saint-Gervais. Uniformization of Riemann surfaces, Revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society, Heritage of European Mathematics. 2016. pdf
    6. Sergey Fomin, Michael Shapiro, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), no. 1, 83-146. arXiv:math/0608367 pdf
    7. Sergey Fomin, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces Part II: Lambda lengths. Mem. Amer. Math. Soc. 255 (2018), no. 1223, v+97 pp. arXiv:1210.5569 pdf
    8. Otto Forster. Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics 81. Springer-Verlag, 1981. pdf
    9. Allen Hatcher. Algebraic Topology. 2001. pdf
    10. Gareth A. Jones, David Singerman. Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press, 1987. pdf
    11. Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1992.
    12. Robert Penner. Lambda lengths. http://www.ctqm.au.dk/research/MCS/lambdalengths.pdf
    13. Robert Penner. Decorated Teichmüller Theory. European Mathematical Society, the QGM Master Class Series. 2012. DOI 10.4171/075 pdf
    14. John Stillwell. Geometry of surfaces. Springer Science+Business Media, LLC. Universitext. 1992. pdf
    15. P.M.H. Wilson. Curves paces, from Classical Geometries to Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press. 2008. pdf

    UNAM
    Posgrado en Matemáticas
    Álgebra Moderna
    Semestre 2022-1

    • Profesor: Dr. Daniel Labardini Fragoso
      Correo electrónico: labardini@etc donde etc=im.unam.mx o etc=matem.unam.mx
      Plataformas: YouTube y Zoom
      Horario:
      Lu (YT), Ma (YT), Mi (YT), Ju (YT), Vi (Zoom, 12:00 - 13:30 hrs).
      Temario oficial
      Evaluación:
      Examen final: 45 %
      Participación: 45 %
      Asistencia: 10 %
      Inicio de clases: Lunes 9 de agosto de 2021
      Último día de clases: Viernes 26 de noviembre de 2021
      Examen final: Del 29 de noviembre al 10 de diciembre de 2021
      Calendario escolar

    Notas y videos de clase:
    Estas notas, que escribí para un mini-curso que impartí en una EMALCA en Arica, Chile, en 2016, contienen un breve panorama de algunos de los temas de teoría de grupos que cubriré en el curso.

    Primera parte: Teoría de grupos

    1. Definición, ejemplos y propiedades básicas.
      Semana 1. Notas Video Repaso
    2. Subgrupos.
      Semana 1. Notas Video Repaso
    3. Subgrupo generado por un subconjunto.
      Semana 1. Notas Video Repaso
    4. Grupos cíclicos.
      Semana 1. Notas Video Repaso
    5. Clases laterales izquierdas y derechas.
      Semana 2. Notas Video Repaso
    6. Subgrupos normales.
      Semana 2. Notas Video Repaso
    7. Homomorfismos de grupos.
      Semana 2. Notas Video Repaso
    8. Acciones de grupos en conjuntos.
      Semana 3. Notas Video Repaso
      Aplicación: epimorfismos de grupos son siempre suprayectivos. (Notas y exposición de Diego Aldana).
    9. Teoremas de Cauchy y Sylow.
      Semana 3. Notas Video Repaso
    10. El grupo simétrico.
      Semana 4. Notas Video
    11. El grupo alternante.
      Semana 4. Notas Video
    12. Productos semidirectos.
      Semana 5. Notas Video
    13. Grupos libres, presentaciones, productos libres y productos amalgamados.
      Semana 5. Notas Video
    14. Series de composición, grupos solubles y nilpotentes.
      Semana 6. Notas Video completo
      Video 1/3 Video 2/3 Video 3/3
    15. Grupos abelianos.
      Semana 6. Notas Video completo
      Video 1/4 Video 2/4 Video 3/4 Video 4/4
    16. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
      Semana 7.

    Segunda parte: Teoría de anillos

    1. Anillos, ideales y homomorfismos.
      Semana 8. Notas Video completo
      Video 1/3 Video 2/3 Video 3/3
    2. Localización.
      Semana 8. Notas Video
    3. Anillos de polinomios.
      Semana 8. Notas Video
    4. Dominios Euclidianos, dominios de ideales principales y dominios de factorización única.
      Semana 9. Notas Video
    5. Ideales y teoría de factorización de un anillo de polinomios.
      Semana 9. Notas Video
    6. Módulos finitamente generados sobre DIPs.
      Semana 9. Notas Video
    7. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
      Semana 10.

    Tercera parte: Teoría de campos

    1. Extensiones de campos.
      Semana 11. Notas Video
    2. Elementos algebraicos y extensiones algebraicas.
      Semana 11. Notas Video
    3. Extensiones normales.
      Semana 11. Notas Video completo
      Video 1/4 Video 2/4 Video 3/4 Video 4/4
    4. Extensiones separables.
      Semana 12. Notas Video completo
      Video 1/5 Video 2/5 Video 3/5 Video 4/5 Video 5/5
    5. Extensiones totalmente inseparables.
      Semana 12. Notas Video
    6. Extensiones trascendentes.
      Semana 13. Notas Video
    7. Problemas de la antigüedad.
      Semana 13. Notas Video
    8. Campos finitos.
      Semana 13. Notas Video

    Cuarta parte: Teoría de Galois

    1. Extensiones de Galois.
      Semana 14. Notas Video
    2. El teorema fundamental de la teoría de Galois.
      Semana 14. Notas Video
    3. El teorema fundamental del álgebra.
      Semana 14. Notas Video
    4. Insolubilidad de la ecuación general de quinto grado.
      Semana 14. Notas Video
    5. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
      Semana 15.

    Quinta parte: Temas selectos (no sujetos a evaluación)

    1. El Teorema de Sturm.
      Semana 16. Notas Video
    2. Teoría de números algebraicos.
      Semana 16. Notas Video
    3. DIPS que no son DEUs, anillos de enteros algebraicos que no son DFUs.
      Semana 16. Notas Video
    4. Algunas ecuaciones Diofantinas.
      Semana 16. Notas Video
    5. Números p-adicos.
      Semana 16. Notas Video
    6. Criptografía.
      Semana 16. Notas Video
    7. Campos de funciones meromorfas.
      Semana 16. Notas Video
    8. Teoría de categorías.
      Semana 16. Notas Video
    9. Álgebra Homológica.
      Semana 16. Notas Video
    10. Productos tensoriales.
      Semana 16. Notas Video
    11. Topología Algebraica.
      Semana 16. Notas Video
    12. Teoría de representaciones de grupos finitos.
      Semana 16. Notas Video
    13. Teoría de representaciones de álgebras.
      Semana 16. Notas Video
    14. Combinatoria Algebraica.
      Semana 16. Notas Video
    15. Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa.
      Semana 16. Notas Video
    16. Algebras de Lie, grupos de Lie y grupos algebraicos.
      Semana 16. Notas Video

    • Videos externos:

      Bibliografía:
      1. Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. Undergraduate Texts in Mathematics. 1976.
      2. Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane. Algebra, tercera edición. AMS Chelsea Publishing, 1988.
      3. Francis Borceaux, George Janelidze. Galois theories. Cambridge University Press. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 72. 2001.
      4. David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra, tercera edición. John Wiley & Sons, Inc., 2004.
      5. John Fraleigh. Álgebra Abstracta, primer curso. Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.
      6. László Fuchs. Infinite Abelian Groups, Volume I. Academic Press. Pure and Applied Mathematics 36. 1970.
      7. I. N. Hernstein. Álgebra Moderna.
      8. John M. Howie. Fields and Galois Theory. Springer-Verlag. Springer Undergraduate Mathematics Series. 2005.
      9. Nathan Jacobson. Lectures in Abstract Algebra III. Theory of Fields and Galois Theory. Springer-Verlag. Graduate Texts in Mathematics 32. 1964.
      10. Patrick Morandi. Field and Galois Theory. Springer-Verlag. Graduate Text Mathematics 167. 1996.
      11. Ian Stewart, David Tall. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, tercera edición. A K Peters. 2002.
      12. Charles Thomas. Representations of finite and Lie groups. Imperial College Press, 2004.

      UNAM
      Posgrado en Matemáticas
      Curso Avanzado de Geometría (9 créditos)
      Geometría Hiperbólica
      Semestre 2021-2

      • Profesor: Dr. Daniel Labardini Fragoso
        Plataforma: YouTube y Zoom
        Horario: Lu (YT), Ma (YT), Mi (YT), Ju (Zoom, 12:00 - 14:00 hrs).
        Temario.
        Evaluación:
        Examen final: 30 %
        Examinaciones de los jueves: 30 %
        Exposición: 30 %
        Asistencia: 10 %
        Inicio de clases: Lunes 15 de febrero de 2021
        Último día de clases: Viernes 11 de junio de 2021
        Examen final: Del 14 al 18 de junio de 2021
        Calendario escolar

      • La impartición del curso ha sido aprobada de manera oficial por la Oficina del Posgrado en Ciencias Matemáticas de la UNAM.

      Notas y videos de clase:
      Este archivo contiene todas las notas que he escrito hasta el momento. Incluye todas las clases hasta el miércoles 10 de marzo de 2021.
      1. Lunes 15 de febrero de 2021:
        La esfera de Riemann:
        El plano complejo extendido, la línea projectiva compleja, la esfera unitaria en R^3.
        Notas Video
      2. Martes 16 de febrero de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        Definición de transformaciones de Möbius de P^1(C), fórmula explícita con respecto a una base arbitraria de C^2, definición de transformaciones de Möbius del plano complejo extendido, análisis del comportamiento geométrico de los ejemplos estándar (traslaciones, homotecias, rotaciones y loxodromías).
        Notas Video
      3. Miércoles 17 de febrero de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        Estructura de grupo de Möb^+(CU{oo}), transitividad simple en ternas de puntos distintos, círculos van a círculos y discos van a discos.
        Notas Video
      4. Lunes 22 de febrero de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        Puntos fijos (cálculo explícito de ellos en términos de las entradas de la matriz) y clasificación por conjugación (toda transformación de Möbius es conjugada a un ejemplo estándar, separación de los ejemplos estándar), definición de las nociones de transformación de Möbius proyectiva, hiperbólica, elíptica y loxodrómica.
        Notas Video
      5. Martes 23 de febrero de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        Redes de Steiner.
        Notas Video
      6. Miércoles 24 de febrero de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        La traza, PSL_2(C) vs. PSL_2(R).
        Notas Video
      7. Lunes 1 de marzo de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        SU_{1,1}.
        Notas Video
      8. Martes 2 de marzo de 2021:
        Transformaciones de Möbius:
        Un dibujo de SU_{1,1} y SL_2(R).
        Visualización programada por Javier Alejandro de Loera Chávez.
        Notas Video
      9. Miércoles 3 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El hiperboloide M es una variedad Riemanniana bajo la forma de Minkowski.
        Notas Video
      10. Lunes 8 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El grupo ortócrono de Lorentz y el grupo restringido de Lorentz son subgrupos del grupo de isometrías Riemannianas del hiperboloide M.
        Notas Video
      11. Martes 9 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        Trigonometría de la hipérbola (definición del coseno hiperbólico y del seno hiperbólico en términos de la hipérbola y la forma de Minkowski, teorema: cosh(b)=(e^b+e^(-b))/2 y senh(b)=(e^b-e^(-b))/2).
        Notas Video
      12. Miércoles 10 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        De vuelta al hiperboloide (cálculo explícito de una familia de curvas más cortas).
        Notas Video
      13. Lunes 15 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        De vuelta al hiperboloide (teorema: para cualesquiera dos puntos del hiperboloide existe una curva más corta que los conecta, teorema: toda curva más corta está contenida en un subespacio vectorial bidimensional de R^3).
        Notas Video
      14. Martes 16 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El semiplano superior (se define la métrica Riemanniana hiperbólica de U como aquélla que resulta de jalar la métrica Riemanniana hiperbólica de D a través de la transformación de Cayley, teorema: toda transformación de Möbius \nu tal que \nu(U)=U es isometría Riemanniana, teorema: las curvas más cortas de U son precisamente los segmentos de círculos en CU{oo} ortogonales a RU{oo} conenidos en U).
        Notas Video
      15. Miércoles 17 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El semiplano superior (teorema: cosh(d_U(w,z))=1+(|w-z|^2)/(2Im(w)Im(z)), teorema: los círculos hiperbólicos son precisamente los círculos Euclidianos contenidos en U).
        Notas Video
      16. Lunes 22 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El semiplano superior (teorema: expresión explícita para isometrías Riemannianas arbitrarias de U, corolario: las isometrías Riemannianas de U que preservan la orientación son precisamente los elementos de PSL_2(R)).
        Notas Video
      17. Martes 23 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        Productos semidirectos (definición de producto semidirecto de grupos, criterio de suficiencia para que el término medio de una sucesión exacta corta de grupos sea el producto semidirecto de los extremos de la sucesión; teorema: S*L_2(R) es el producto semidirecto de SL_2(R) y {1,-1}; teorema: PS*L_2(R) es el producto semidirecto de PSL_2(R) y {1,-1}; corolario: Iso_R(U) es el producto semidirecto de Iso^+_R(U) y {1,-1}).
        Notas Video
      18. Miércoles 24 de marzo de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        De vuelta al semiplano superior (análisis básico del comportamiento geométrico de las isometrías de U que preservan la orientación; el punto fijo de una parabólica pertenece a RU{oo}, los puntos fijos de una hiperbólica pertenecen a RU{oo}, los puntos fijos de una elíptica son números complejos conjugados).
        Notas Video
      19. Lunes 5 de abril de 2021:
        Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
        El disco de Poincaré (descripción explícita de todas las isometrías, las curvas más cortas son los segmentos contenidos en la intersección de D con los círculos en CU{oo} ortogonales al círculo unitario, los círculos hiperbólicos son precisamente los círculos de C contenidos en D, descripción del comportamiento geométrico de las isometrías que preservan la orientación, teorema: SO^M_{2,1} (resp. O^M_{2,1}) coincide con el grupo de isometrías del hiperboloide que preservan la orientación (resp. todo el grupo de isometrías de M)).
        Notas Video
      20. Martes 6 de abril de 2021:
        Área y trigonometría:
        Área hiperbólica y la fórmula de Gauss-Bonnet (definición de área hiperbólica, teorema: el área hiperbólica de un triángulo hiperbólico es \pi menos la suma de los ángulos internos del triángulo).
        Notas Video
      21. Lunes 12 de abril de 2021:
        Área y trigonometría:
        Trigonometría hiperbólica (ángulo de paralelismo, leyes de los cosenos, corolario: cualesquiera dos triángulos similares son congruentes en un sentido fuerte).
        Notas Video
      22. Martes 13 de abril de 2021:
        Grupos Fuchsianos:
        Preliminares topológicos.
        Notas Video
      23. Miércoles 14 de abril de 2021:
        Grupos Fuchsianos:
        Subgrupos discretos de PSL_2(R) mediante su acción en U.
        Notas Video
      24. Lunes 19 de abril de 2021:
        Grupos Fuchsianos:
        Subgrupos discretos de PSL_2(R) mediante su acción en U (teorema: un subgrupo de PSL_2(R) es Fuchsiano si y sólo si su acción en U es propiamente discontinua).
        Notas Video
      25. Martes 20 de abril de 2021:
        Grupos Fuchsianos:
        Propiedades algebraicas básicas (teorema: dos elementos de PSL_2(R) distintos de la identidad conmutan si y sólo si tienen exactamente los mismos puntos fijos en la cerradura topológica de U en CU{oo}, teorema: todo subgrupo abeliano discreto de PSL_2(R) es cíclico, corolario: ningún subgrupo discreto de PSL_2(R) es isomorfo a Z\oplus Z).
        Notas Video
      26. Lunes 26 de abril de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Definición y propiedades básicas.
        Notas Video
      27. Lunes 3 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Definición y propiedades básicas (teorema: Supongamos que D es un dominio fundamental para el grupo Fuchsiano \Gamma, y denotemos por E la cerradura topológica de D en el plano hiperbólico H. La función E/\Gamma -> H/\Gamma inducida por la inclusión de E en H es un homeomorfismo si y sólo si D es un dominio fundamental localmente finito).
        Notas Video
      28. Lunes 10 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Definición y propiedades básicas (teorema: la cerradura topológica en H de un conjunto h-convexo es h-convexo; teorema: todo subgrupo discreto de SL_2(R) es finito o numerable, también lo es todo subgrupo discreto de PSL_2(R); teorema: si D es un dominio fundamental localmente finito para un grupo Fuchsiano \Gamma, entonces {g \in \Gamma | g(E) \cap E \neq \varnothing} genera a \Gamma como grupo, donde E es la cerradura topológica de D en H).
        Notas Video
      29. Martes 11 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Definición y propiedades básicas (teorema: si \Gamma es un grupo Fuchsiano y z es un punto en la cerradura topológica del semiplano superior en CU{oo}, entonces el estabilizador de z en \Gamma es cíclico, lema: si G es un subgrupo discreto de SL_2(R) que tiene un elemento parabólico que fija oo, entonces las entradas "suroeste" de los elementos de G forman un conjunto de números reales que no se acumula en 0).
        Notas Video
      30. Lunes 17 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Definición y propiedades básicas (teorema: supongamos que \Gamma es un grupo Fuchsiano y D es un dominio fundamental localmente finito para \Gamma; para cada elemento no neutro de \Gamma exhibimos una familia de conjuntos no necesariamente compactos, con la propiedad de que sólo un número finito de \Gamma-imágenes de cualquier miembro dado K de la familia tiene intersección no vacía con D; corolario: si \Gamma es Fuchsiano y D es localmente finito, entonces todo punto fijo de algún elemento parabólico de \Gamma tiene un \Gamma-representante en la cerradura topológica Euclidiana de D).
        Notas Video
      31. Martes 18 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Dominios fundamentales convexos (estudiamos algunas propiedades geométricas y topológicas básicas de dominios fundamentales localmente finitos que poseen la propiedad adicional de convexidad hiperbólica).
        Notas Video
      32. Martes 25 de mayo de 2021:
        Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
        Conexiones afines (definición de la noción de conexión afín en una variedad diferenciable, teorema: toda conexión afín induce un isomorfismo de transporte paralelo entre los espacios tangentes de los puntos extremos de cualquier curva suave en la superficie).
        Notas Video
      33. Miércoles 26 de mayo de 2021:
        Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
        La conexión de Levi-Civita (definición de compatibilidad de una conexión con una métrica Riemanniana, definición de conexión libre de torsión, teorema: cada variedad Riemanniana admite exactamente una conexión compatible libre de torsión).
        Notas Video
      34. Jueves 27 de mayo de 2021:
        Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
        El tensor de curvatura, curvatura seccional y la curvatura del plano hiperbólico.
        Notas Video
      35. Lunes 31 de mayo de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Dominios fundamentales convexos (establecemos algunas propiedades de las transformaciones en el grupo Fuchsiano \Gamma que aparean lados del dominio fundamental convexo localmente finito P).
        Notas Video
      36. Miércoles 2 de junio de 2021:
        Dominios fundamentales:
        Dominios fundamentales convexos (definimos las nociones de lado libre, vértice propio al infinito y vértice impropio al infinito de un dominio fundamental localmente finito hiperbólicamente convexo P; teorema: si v es un punto al infinito en la cerradura topológica Euclidiana de P que tiene estabilizador no trivial en \Gamma, entonces su estabilizador es un subgrupo parabólico maximal de \Gamma y v es un vértice propio de P).
        Notas Video
      37. Martes 8 de junio de 2021:
        Dominios fundamentales:
        El polígono de Dirichlet (definimos el polígono de Dirichlet de un grupo Fuchsiano con respecto a un punto con estabilizador trivial; teorema: el polígono de Dirichlet es un dominio fundamental localmente finito hiperbólicamente convexo; ejemplo: un polígono de Dirichlet para PSL_2(Z)).
        Notas Video
      38. Miércoles 9 de junio de 2021:
        Dominios fundamentales:
        El teorema del polígono de Poincaré.
        Notas Video
      39. Lunes 21 de junio de 2021:
        Grupo fundamental y espacios cubrientes:
        El grupo fundamental.
        Notas Video
      40. Jueves 24 de junio de 2021:
        Grupo fundamental y espacios cubrientes:
        Espacios cubrientes.
        Notas Video
        Bibliografía:
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        2. Alan F. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 91. 1983.
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        6. Henri Paul de Saint-Gervais. Uniformization of Riemann surfaces, Revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society, Heritage of European Mathematics. 2016.
        7. Sergey Fomin, Michael Shapiro, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), no. 1, 83?146. arXiv:math/0608367
        8. Sergey Fomin, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces Part II: Lambda lengths. Mem. Amer. Math. Soc. 255 (2018), no. 1223, v+97 pp. arXiv:1210.5569
        9. Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky. Cluster algebras I: Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497?529.
        10. Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky. Cluster algebras II: Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), 63?121. math.RA/0208229
        11. Otto Forster. Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics 81. Springer-Verlag, 1981.
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        13. Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1992.
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        16. Robert Penner. Decorated Teichmüller Theory. European Mathematical Society, the QGM Master Class Series. 2012. DOI 10.4171/075
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        18. John Stillwell. Geometry of surfaces. Springer Science+Business Media, LLC. Universitext. 1992.