Peter Littelmann und Lara Bossinger
Mi 14:00-15:30, Seminarraum 1 (Raum 005), Mathematisches Institut
Schubertvarietäten sind für mehrere mathematische Gebiete von Interesse.
Vor allem in der Darstellungstheorie, algebraischer Geometrie, und Kombinatorik werden sie analysiert.
Sie sind eine wichtige Klasse von Untervarietäten der Fahnenvarietät und Grassmannschen.
Die Theorie der Standardmonome befasst sich insbesondere mit homogenen Koordinatenringen von Schubertvarietäten.
Die Standardmonome sind besondere Elemente in diesem Ring, die eine konkrete Beschreibung der Schubertvarietät ermöglichen.
Wichtiges Werkzeuge in dieser Theorie sind die Kombinatorik gegeben durch Young-Tableaux und die Darstellungstheorie der Lie-Algebra sl_n.
Vorraussetzungen: Kenntnisse in der Darstellungstheorie der Lie-Algebra sl_n sowie Kenntnisse in algebraischer Geometrie von Vorteil.
Die Vorbesprechung findet am 26.07.2017 um 16:00 im Stefan-Cohn-Vossen Raum des Mathematischen Instituts statt.
- Motivation/Einführung: Affine Varietäten
18.10.2017, Lara
- Koordinatenring, irreduzibel, Spec R (R kommutativer Ring), affine offene Menge, Lokalisierung,
normal, Normalisierung, lokaler Ring
- Referenzen: [CLS] S. 3 - 8, [GP] Chapter 1 & 2
- Vortrag 1: Projektiver Raum und Grassmannsche
25.10.2017, Alina
- Projektiver Raum, projektive Varietät, homogener Koordinatenring, affiner Kegel, rationale Funktionen
Grassmannsche Definition 1.1.2 [SMT], Grassmannsche als homogener Raum, SLn, B Borel, U unipotentes Radikal
- Refrenzen: [CLS] S. 49 - 52, [SMT] 1.1.1 - 1.1.3
- Vortrag 2: Plücker Koordinaten
08.11.2017, tba
- Plücker Koordinaten, Wiederholung Tensorprodukt, äusseres Tensorprodukt, Basis, Plücker Einbettung,
Alternierende Funktionen, Produkte von Plücker Koordinaten, Beispiel Gr(2,4), Alt(f), AltM(f), AltM1,M2(f)
- Referenzen: [SMT] 1.1.4 - 1.1.14, [FH] Kapitel B.2
- Vortrag 3: Shuffles und Monome
15.11.2017, Neele
- Quadratische Relationen, Theorem 1.1.18, Shuffle Relation, t-shuffle, Beispiel 2-shuffle in S4, Theorem 1.1.24,
I(Gr), k[Gr], totale Ordnung, Definition: Standardmonome
- Referenzen: [SMT] 1.1.15 - 1.1.24
- Vortrag 4: Young Tableaux
22.11.2017, Josef
- Young Diagramm, Young Tableaux, semi-standard, weakly-standard, Korrespondenz: semi-standard Young-Tableaux und Standardmonome,
monomiale Ordnung auf k[∧dkn], Straightening-Relation, Propositionen 1.3.1 und 1.3.3
- Referenzen: [SMT] 1.2 - 1.3.3
- Vortrag 5: Schubertvarietäten
29.11.2017, Benjamin
- Schubertvarietäten, Schubertzellen, Definition 1.4.1, Torusoperation T in SL_n, T-Fixpunkte im porjektiven Raum
über ∧dV, Lemma 1.4.4 und 1.4.5, Proposition 1.4.6, Wiederholung Zariski-Topologie
- Referenzen: [SMT] 1.4 bis 1.4.6, [CLS] Kapitel 1.0 und 2.0
- Vortrag 6: Eigenschaften von Schubertvarietäten
06.12.2017, tba
- Dimension einer Varität, Tangentialraum an einem glatten Punkt, Morphismen affiner Varietäten, affiner Raum,
Strukturgarbe, Lokalisierung projektiver Raum, Proposition 1.4.7, Schnitt projektiver Varietäten, Lemmata 1.4.8 und 9
- Referenzen: [SMT] 1.4.7 - 1.4.9, [CLS] Kapitel 1.0 und 2.0
- Vortrag 7: Standardmonomtheorie für Schubertvarietäten
13.12.2017, tba
- homogener Koordinatenring von Untervrietäten und Lokalisierung, Standardmonome auf Schubertvarietäten Definition 1.5.1
, Theorem 1.5.3, definierende Gleichungen von Schubertvarietäten Proposition 1.5.6
- Referenzen: [SMT] 1.5.1 - 1.5.6, [CLS] Kapitel 2.0
- Vortrag 8: Pieri's Formel
20.12.2017, tba
- Verinigung und Schnitt von Varietäten, Was kann schief gehen?, Verkleben von Spec R, Divisor,
Vereinigung von Schubertvarietäten, Pieri's Formel
- Referenzen: [SMT] 1.5.7 - 1.6.2, [CLS] Kapitel 3.0 und 4.0
Literatur:
- "Introduction to the Theory of Standard Monomials" - C.S. Seshadri, Texts and Readings in Mathematics,
46. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2014. xiv+221 pp. ISBN: 978-93-80250-58-8
- [SMT] Skript: "Schubert Varieties" - Peter Littelmann, Link
- [CLS] "Toric varieties", D. Cox, J.B. Little, H.K. Schenck, Graduate Studies in Mathematics 124 (2011)
- [FH] "Representation Theory - A first course" - W. Fulton, J. Harris, GTM
- [GP] Skript "Varieties" - Luis David Garcia Puente, Link