Conceptos básicos de conjuntos convexos

Las preguntas de esta sección no son para entregar.

Asegúrate que recuerdes las siguientes cosas:

• La norma \(|\mathbf{x}|\) de un vector, el producto punto \(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\) de dos vectores, y sus propiedades básicas (algunas de las cuales serán mencionadas abajo).
• \(\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^2 : |\mathbf{x}| = 1\}\) es un círculo (sin lo de adentro), \(\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^3 : |\mathbf{x}| = 1\}\) es una esfera hueca.
• \(\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^2 : \mathbf{x} \cdot \mathbf{n} = k\}\) es una recta perpendicular al vector \(\mathbf{n}\), \(\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^3 : \mathbf{x} \cdot \mathbf{n} = k\}\) es un plano perpendicular al vector \(\mathbf{n}\). ¿Qué representa la \(k\) (sugerencia: tiene algo que ver con la distancia del origen a la recta o plano, ¿pero qué exactamente?)?
• Si en las ecuaciones que dimos para círculos, esferas, rectas y planos cambiamos el \(=\) por \(\le\) o \(\ge\), ¿qué se obtiene en cada caso?

1. ¿El conjunto vacío es convexo?
2. Prueba que una esfera sólida con centro en \(\mathbf{a}\) y radio \(r\), \(D = \{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^3 : |\mathbf{x} - \mathbf{a}| \le r\}\), es convexa.
3. Una elipse con focos \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) se puede describir como \(E = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 : |\mathbf{x}-\mathbf{a}| + |\mathbf{x}-\mathbf{b}| \le k\}\), donde \(k \in \mathbb{R}\) es una constante.
   1. Demuestra que para que esa definición de \(E\) de verdad produzca una elipse y no el conjunto vacío, se necesita que \(k \ge |\mathbf{a}-\mathbf{b}|\).
   2. Prueba que la elipse es convexa.
4. Dado un polinomio \(f(x,y)\) podemos considerar los conjuntos \(P = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x,y) \ge 0\}\) y \(N = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x,y) \le 0\}\). Da ejemplos de polinomios \(f(x,y)\) tales que:
   1. \(P\) sea convexo y \(N\) no.
   2. Ninguno de \(P\) y \(N\) es convexo.
   3. Tanto \(P\) como \(N\) son convexos.
5. Dado un triángulo relleno \(T\) en el plano, ¿cuál es el conjunto de puntos \(p\) tales que el punto de \(T\) más cercano a \(p\) es un vértice de \(T\)?
6. ¿Cuáles son los conjuntos convexos contenidos en \(\mathbb{R}\)? (Son un tipo de conjunto que conoces bien, ¿cuál?)
7. ¿Qué necesita cumplir una función \(f : \mathbb{R} \to \mathbf{R}\) para que el conjunto de puntos \(\{(x,y) \in \mathbf{R}^2 : y \ge f(x)\}\) sea convexo?
8. La unión de dos convexos, ¿necesariamente es convexa? Si no, ¿puede a veces ser convexa?