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Aplicaciones del teorema de Helly

Índice

Fecha de entrega: martes 24 de septiembre

Aplicaciones del Teorema de Helly

  1. Sea \(K\) un subconjunto convexo de \(\mathbb{R}^d\) que está contenido en la unión de un número finito de semiespacios. Prueba que es posible elegir \(d+1\) o menos de esos semiespacios de modo que \(K\) esté contenido en su unión.
  2. Sea \(P\) un polígono no necesariamente convexo en el plano tal que para cualesquiera 3 puntos de \(P\), digamos \(x,y,z\), existe un cuarto punto \(w\) tal que los segmentos de recta \(wx, wy, wz\) están contenidos en \(P\). Prueba que existe algún punto \(u\) tal que para todo punto \(v \in P\), el segmento \(uv\) está contenido en \(P\).
  3. Sean \(X_1, \ldots, X_n \subseteq \mathbb{R}^d\) una colleción de cajas, es decir, de paralelepípedos rectangulares con lados paralelos a los ejes. Prueba que si cualesquiera dos de los \(X_i\) se intersectan, entonces todos se interesectan.

Problemas míscelaneos

  1. Considera la función \(f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) dada por \(f(x) = \frac{x}{1 + |x|}\).
    1. Demuestra que \(f\) no manda convexos en convexos.
    2. Demuestra que \(f\) sí manda convexos que contiene al origen en convexos.
  2. En clase definimos la función soporte \(h(u)\) de un convexo compacto \(X \subseteq \mathbb{R}^d\) solo para vectores unitarios \(u\), es decir, \(h : S^{d-1} \to \mathbb{R}\). Extendamos eso a todo \(\mathbb{R}^d\) con la misma fórmula, es decir, definimos ahora \(h \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) por medio de la fórmula: \[ h(u) = \max\{x \cdot u : x \in K\}.\] (La compacidad de \(K\) garantiza que el máximo existe).
    1. Demuestra que \(h\) es positivamente homogénea, es decir que \(h(\lambda u) = \lambda h(u)\) si \(\lambda > 0\).
    2. Demuestra que \(h\) es subaditiva, es decir que \(h(u + v) \le h(u) + h(v)\).
    3. Sea \(h : S^1 \to \mathbb{R}\) una función tal que \(h(1,0) = h(0,1) = 1\) y \(h(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) > \sqrt{2}\). Demuestra que \(h\) no es la función soporte de un conjunto convexo en \(\mathbb{R}^2\).
  3. Demuestra que para \(x,y,z>0\) tenemos \(xyz \le \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{6}z^6\). ¿Cuándo se da la igualdad?

Omar Antolín Camarena