HOME

Cuerdas de convexos y el Teorema de Hadwiger

Índice

Fecha de entrega: Miércoles 27 de diciembre.

Cuerdas de convexos

Recuerda los tipos de cuerdas \(pq\) de un conjunto convexo y compacto \(X \subset \mathbb{R}^2\) discutidas en el curso:

Diámetro
La longitud de \(pq\) es la máxima distancia entre dos puntos de \(X\).
Diametral
Hay líneas soporte de \(X\) que pasen por \(p\) y \(q\) que son paralelas.
Normal
Una de las dos rectas perpendiculares a \(pq\) por \(p\) o por \(q\) es línea soporte de \(X\).
Binormal
Las rectas perpendiculares a \(pq\) tanto por \(p\) como por \(q\) son líneas soporte de \(X\).
  1. Demuestra que para cualquier convexo \(X\) se tienen las siguientes implicaciones entre los tipos de cuerdas:

    (a) diámetro \(\implies\) binormal

    (b) binormal \(\implies\) normal

    (c) binormal \(\implies\) diametral

  2. Dibuja ejemplos de cuerdas que sirvan como contraejemplo a las siguientes implicaciones (no requiere explicación aparte del dibujo, pero asegürate que en el dibujo sea claro que sí es un contraejemplo):

    (a) normal \(\implies\) diametral

    (b) diametral \(\implies\) normal

    (c) binormal \(\implies\) diámetro

  3. Prueba que si \(X \subset \mathbb{R}^2\) es de ancho constante, entonces cualquier cuerda diametral de \(X\) es binormal. (De hecho vimos en clase que los cuatro tipos de cuerdas coinciden para cuerpos de ancho constante).

Valuaciones y el Teorema de Hadwiger

  1. Recuerda que una valuación \(F\) se llama homogénea de grado \(d\) si \(F(\lambda K) = \lambda^d F(K)\). Prueba que si \(F_1, \ldots, F_k\) son homogéneas de grado \(d_1, \ldots, d_k\) y los \(d_j\) son distintos dos a dos, entonces \(\{F_1, \ldots, F_k\}\) es linealmente independiente.
  2. Suponiendo el teorema de Hadwiger prueba que si \(F\) es una valuación para convexos compactos en \(\mathbb{R}^2\) tal que \(F\) es homogénea de grado \(d\) entonces \(d\) es un entero entre \(0\) y \(n\).
  3. Suponiendo el teorema de Hadwiger prueba que si \(F\) y \(G\) son dos valuaciones para convexos compactos en \(\mathbb{R}^n\) y ambas son homogéneas de grado \(d\), entonces una es múltiplo de la otra.
  4. Consideremos los convexos compactos en el plano. Sea \(u\) un vector unitario fijo en el plano y sea \(a_u(K)\) el ancho de \(K\) en la dirección \(u\), es decir \(a_u(K) = \max\{u \cdot x : x \in K\} - \min\{u \cdot x : x \in K\}\).

    (a) ¿\(a_u\) es valuación? Si no, ¿cuáles partes de la definición de valuación cumple? ¿Es una función homogénea? Si sí, ¿de qué grado?

    (b) Prueba que \(F(K) := \int_0^{\pi} a_{(\cos \theta, \sin \theta)}(K) d\theta\) es una valuación homogénea de grado 1.

    (c) Concluye que \(F = P\), donde \(P\) es el perímetro. (Sugerencia: usa el problema anterior).

Omar Antolín Camarena