• A lo largo de la plática, \(G\) es un grupo de Lie.

• El espacio de \(n\)-adas de elementos de \(G\) que conmutan se puede describir como un espacio de homomorfismos:

  \(\Hom(\Z^n, G) \cong \{(g_1, \ldots, g_n) \in G^n : g_i g_j = g_j g_i\}\).

• Le damos una topología como subespacio de \(G^n\).

• \(SU(2)\) es el grupo de cuaternios unitarios.
• Un cuaternio lo escribimos como \(a + u\) donde:
  • \(a \in \R\) es la parte real,
  • \(u = xi+yj+zk \in \R^3\) es la parte imaginaria.
• La multiplicación está dada por \(uv = -u\cdot v + u \times v\).
• \(a+u\) y \(b+v\) conmutan si y solo si \(u\) y \(v\) son paralelos.

• En \(S^2 \times S^1 \times S^1\) definimos \((v,a,b) \sim (-v, \bar{a}, \bar{b})\).
• Sea \(p\) la aplicación dada por: \[\begin{aligned} (S^2 \times S^1 \times S^1)/\!\sim\, & \to \Hom(\Z^2, SU(2)) \\ [v,a_1 + a_2 i,b_1 + b_2 i] & \mapsto (a_1 + a_2 v, b_1 + b_2 v) \end{aligned} \]
• \(p\) está bien definida y es suprayectiva.
• \(p([v, \pm 1, \pm 1]) = (\pm 1, \pm 1)\).
• \(p\) restringida a \(\left(S^2 \times (S^1 \times S^1 \setminus \{\pm 1\} \times \{\pm 1\})\right)/\!\sim\) es homeomorfismo a su imagen.
• \(\Hom(\Z^2, SU(2))\) se obtiene de \((S^2 \times S^1 \times S^1)/\!\sim\) colapsando cuatro copias de \(\RP^2\) a un punto cada una.

• Si \(\Gamma\) es un grupo generado por \(\gamma_1, \ldots, \gamma_n\), un homorfismo \(\Gamma \to G\) está determinado por las imágenes de \(\gamma_1, \ldots, \gamma_n\).
• Podemos darle a \(\Hom(\Gamma, G)\) topología como subespacio de \(G^n\).
• Es fácil ver que la topología no depende del conjunto de generadores elegido.

• Los topológos algebraicos estamos acostumbrados a que si existe un homomorfismo de grupos \(f : H \to G\) que además es una equivalencia homotópica, entonces propiedades homotópicas básicas de \(G\) y \(H\) coinciden.
• Por ejemplo, los espacios clasificantes \(BG\) y \(BH\) son homotópicamente equivalentes y por lo tanto la teoría de haces principales es la misma para \(G\) y \(H\).
• Pero, ¡ni siquiera el número de componentes conexas de \(\Hom(\Gamma, G)\) y \(\Hom(\Gamma, H)\) tienen porqué coincidir!
• Ni siquiera cuando \(H=K\) es el subgrupo compacto maximal de \(G\) y \(f\) la inclusión.

• Un grupo de Lie conexo \(G\) siempre tiene un subgrupo compacto maximal \(K\).
• Todos los subgrupos compactos maximales son conjugados entre sí.
• \(G\) es homeomorfo a \(K \times \R^d\) para algún \(d\), pero usualmente no isomorfo como grupo.
• La inclusión \(K \hookrightarrow G\) es un homomorfismo que además es una equivalencia homotópica.
• Cuidado: aunque \(G\) sea un grupo de Lie complejo, \(K\) es real.
• Ejemplos básicos: \(G = GL(n,\R)\), \(K = O(n)\); \(G = GL(n,\mathbb{C})\), \(K = U(n)\).

• \(\Gamma = \pi_1(\Sigma_g)\) es el grupo fundamental de una superficie de género al menos 2 (y \(\Gamma^{ab} = H_1(\Sigma_g; \Z)\)).
• \(G = SL(2, \R)\) y \(K = SO(2)\) su compacto subgrupo maximal.
• Hay representaciones fieles de \(\Gamma\) en \(SL(2,\R)\) (Fricke y Klein).

• El siguiente diagrama muestra que \(\alpha\) no es suprayectiva en componentes conexas: \(\require{AMScd}\)

  \(\begin{CD} \Hom(\Gamma^{ab}, SO(2)) @>{\cong}>> \Hom(\Gamma, SO(2))\\ @VVV @V{\alpha}VV \\ \Hom(\Gamma^{ab}, SL(2, \R)) @>>> \Hom(\Gamma, SL(2, \R)) \end{CD}\)

• Un teorema de Alexandra Pettet y Juan Suoto:

  Si \(G\) el grupo de puntos (complejos, resp. reales) de un grupo algebraico reductivo (complejo, resp. real) y \(K\) es su subgrupo compacto maximal, entonces \(\Hom(\Z^n, K)\) es un retracto fuerte por deformación de \(\Hom(\Z^n, G)\).

• Ejemplos de grupos algebraicos reductivos: \(GL(n)\), \(SL(n)\) \(SU(n)\), \(SO(n)\), \(Sp(2n)\).
• Lo mismo vale para \(\Gamma\) nilpotentes y finitamente presentado, por trabajo de Maxime Bergeron.
• Cuando \(G\) no es algebraico, ¡esto es falso!

• \(G = \begin{pmatrix} 1 & \R & \R/\Z \\ 0 & 1 & \R \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\). \(G\) no es algebraico.
• \(\begin{pmatrix} 1 & a & [c] \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\) y \(\begin{pmatrix} 1 & x & [z] \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\) conmutan si y solo si \(ay - bx \in \Z\).
• Por lo tanto \(\Hom(\Z^n, G)\) tiene una infinidad de componentes.
• El subgrupo compacto maximal es el \(K = \R/\Z\) de la esquina: \(\Hom(\Z^n, K)\) es conexo.

• Definido por Alejandro Adem, Fred Cohen y Enrique Torres Giese en 2012.
• Estudiado por Alejandro Adem y José Manual Gómez en 2015.

• Los \(\Hom(\Z^n, G)\) para \(G\) fija y \(n\) variando forman un espacio simplicial, su realización geométrica es:

  \(\Bcom G := |\Hom(\Z^{\bullet}, G)| = \left(\coprod_{n \ge 0} \Hom(\Z^n, G) \times \Delta^n\right) / \sim \)

• Es un subespacio simplicial de un modelo clásico para \(BG\), el espacio clasificante de \(G\): \(BG = |G^{\bullet}|\).
• Por construcción hay una aplicación canónica \(\Bcom G \to BG\).

• Clasifica \(G\)-haces principales.
• Un \(G\)-haz principal es un espacio \(Y\) con una acción continua y libre de \(G\), tal que la proyección \(p : Y \to Y/G =: X\) es localmente trivial.
• Localmente trivial: \(X\) está cubierto por abiertos \(U\) tales que \(p^{-1}(U) \cong U \times G\) compatiblemente con la acción de \(G\) y las proyecciones a \(U\).
• «Clasificar» quiere decir que hay una biyección entre:
  • Clases de isomorfismo de \(G\)-haces principales sobre \(X\).
  • Clases de homotopía de funciones continuas \(X \to BG\).

• El haz sobre \(BG\) clasificado por la identidad \(BG \to BG\) se llama el \(G\)-haz principal universal, \(p_G : EG \to BG\).
• Se puede probar que \(EG\) es contraíble.

• El haz clasificado por \(f : X \to BG\) se puede obtener como producto fibrado:

  \(Y = X \times_{BG} EG = \{(x,e) \in X \times EG : f(x) = p_G(e)\}\)

• Sea \(p : Y \to X\) un \(G\)-haz principal y consideremos dos abiertos \(U\) y \(V\) en \(X\) donde se trivializa.
• Sean \(\rho_U : p^{-1}(U) \to U \times G\) y \(\rho_V : p^{-1}(V) \to V \times G\) las trivializaciones.

• Por la compatibilidad con la acción y las proyecciones, la composición

  \(\rho_V \circ \rho_U^{-1} : (U \cap V) \times G \to (U \cap V) \times G\)

  debe ser de la forma \((x, g) \mapsto (x, g \phi_{UV}(x))\), con \(\phi_{UV}(x) \in G\).

• Estas funciones \(\phi_{UV} : U \cap V \to G\) se llaman funciones de transición.

• Clasifica \(G\)-haces principales transicionalmente conmutativos.
• Para especificar una estructura transicionalmente conmutativa en un \(G\)-haz principal \(Y \to X\) basta dar una cubierta abierta trivializadora \(\{U_i\}_i\) de \(X\) tal que siempre que \(x \in U_i \cap U_j \cap U_k \cap U_l\), se tiene que \(\phi_{U_iU_j}(x)\) y \(\phi_{U_kU_l}(x)\) conmutan.
• Tal cubierta \(\{U_i\}_i\) permite construir una factorización de la función clasificante, \( X \to \Bcom G \to BG\).
• Dos estructuras transicionalmente conmutativas son equivalentes si las aplicaciones clasificantes \(X \to \Bcom G\) son homotópicas.
• Problema abierto: describir esta relación de equivalencia «geométricamente». (Bernardo Villarreal y Dan Ramras tienen avances en esto.)

• Un mismo \(G\)-haz principal puede tener múltiples estructuras transcionalmente conmutativas no equivalentes entre sí (veremos ejemplos más adelante).
• También hay \(G\)-haces principales que no tienen ninguna estructura transcionalmente conmutativa (ejemplo: el \(G\)-haz universal \(EG \to BG\)).

• La aplicación canónica \(\Bcom G \to BG\) clasifica un \(G\)-haz principal \(\Ecom G \to \Bcom G\).
• Éste tiene una estructura transicionalmente conmutativa canónica y es el \(G\)-haz principal transicionalmente conmutativo universal.
• \(\Ecom G = \Bcom G \times_{BG} EG\).
• \(\Ecom G\) no es contraíble en general, pero sí cuando \(G\) es abeliano, en cuyo caso \(\Bcom G = BG\).

• Si los espacios \(\Hom(\Z^n, G)\) no son conexos, a veces es útil considerar la componente del homomorfismo constante con valor \(e_G\).
• Denotaremos esta componente como \(\Hom(\Z^n, G)_{\one}\).
• Estos espacios forman un subespacio simplicial de \(\Hom(\Z^{\bullet},G)\).
• Definimos \(\Bcom G_{\one} := |\Hom(\Z^{\bullet},G)_{\one}|\) y \(\Ecom G_{\one} = \Bcom G_{\one} \times_{\Bcom G} \Ecom G\).
• Si \(G\) es \(SU(n)\), \(U(n)\), \(Sp(2n)\) o producto de algunos de esos, entonces \(\Bcom G_{\one} = \Bcom G\) y \(\Ecom G_{\one} = \Ecom G\).

• Hipótesis: \(G\) es un grupo de Lie compacto y conexo.
• Notación: Sea \(T\) un toro maximal, \(N\) su normalizador en \(G\) y \(W := N/T\) el grupo de Weyl.
• Clásico: \(H^{\ast}(BG; \Q) = (H^{\ast}(BT; \Q))^W\).
• \(H^{\ast}(\Bcom G_{\one}; \Q) = (H^{\ast}(BT; \Q) \otimes_{\Q} H^{\ast}(G/T; \Q))^W\)
• \(H^{\ast}(\Ecom G_{\one}; \Q) = (H^{\ast}(G/T; \Q) \otimes_{\Q} H^{\ast}(G/T; \Q))^W\)
• \(\Ecom G_{\one}\) es un complejo CW con un número finito de celdas.

• El teorema arriba mencionado de Alexandra Pettet y Juan Suoto implica que:

  Si \(G\) el grupo de puntos (complejos, resp. reales) de un grupo algebraico reductivo (complejo, resp. real) y \(K\) es su subgrupo compacto maximal, entonces \(\Bcom G \simeq \Bcom K\) y \(\Ecom G \simeq \Ecom K\).

• Pero, ¡no todos los grupos son algebraicos!
• Aparte: ¿qué tan importante es la conexidad?

• Son para grupos de dimensiones bajas, \(G = SU(2), U(2), O(2), SO(3)\).
• Nótese que todos son compactos, pero \(O(2)\) no es conexo.
• Para \(G = SO(3)\) solo tenemos información de \(\Bcom SO(3)_{\one}\) y \(\Ecom SO(3)_{\one}\). Abajo escribo \(\Bcom G\), pero para \(G = SO(3)\) quiero decir \(\Bcom SO(3)_{\one}\).
• En cada caso calculamos:
  • El anillo de cohomología entera de \(\Bcom G\).
  • El anillo de cohomología módulo 2 de \(\Bcom G\) y la acción del álgebra de Steenrod.
  • El tipo de homotopía de \(\Ecom G\). ¡La respuesta es simple y sorprendente!

• \(H^\ast(BO(2);\F_2)\cong \F_2[w_1,w_2]\)
• \(H^\ast(BO(2);\Z)\cong \Z[W_1,W_2,p_1]/(2W_1,2W_2, W_2^2-p_1W_1)\)
• \(H^*(\Bcom O(2);\F_2)\cong \F_2[w_1,w_2,\bar{r},s]/(\bar{r} w_1,\bar{r}^2, \bar{r}s, s^2)\)
• \(H^*(\Bcom O(2);\Z)\cong \Z[W_1,W_2,p_1,r,b_1,b_2,b_3]/I\) donde \(I\) es el ideal generado por \(W_2^2-p_1W_1\), \(r^2-4p_1\), \(b_2 p_1-b_3 W_2\), \(b_2 W_2-b_3 W_1\), \(2W_i\), \(rW_i\) y \(b_1 W_i\) para \(i=1,2\) así como \(2b_i\), \(rb_i\) y \(b_ib_j\) para \(1\leq i,j\leq 3\).

• \(\Ecom O(2) \simeq S^3 \vee S^2 \vee S^2\)

• \(H^{\ast}(BSU(2); \Z) \cong \Z[c_2]\)
• \(H^{\ast}(\Bcom SU(2);\Z)\cong\Z[c_2,y_1,x_2]/(2x_2,y_1^2,x_2y_1,x_2^2)\)
• \(H^*(\Bcom SU(2);\F_2) \cong \F_2[\bar{c}_2,\bar{y}_1,x_1,\bar{x}_2]/ (\bar{y}_1^2,\bar{y}_1x_1,x_1^2,\bar{x}_2\bar{y}_1,x_1\bar{x}_2,\bar{x}_2^2)\)

• \(\Ecom SU(2) \simeq S^4 \vee \Sigma^4 \RP^2\)
• \(\pi_n(\Bcom SU(2)) = 0\) para \(n=1,2,3\), y

• Alejandro Adem y José Manuel Gómez prueban que \(\Omega \Bcom G \simeq \Omega \Ecom G \times \Omega BG\).
• Simon Gritschacher probó que \(\Bcom G \not \simeq \Ecom G \times BG\) cuando \(G\) es un grupo de Lie compacto y conexo. Nuestros cálculos lo prueban también para \(G=O(2)\) y dan una prueba totalmente distinta para \(G = SU(2)\).
• \(\Bcom SU(2)\) y \(\Ecom SU(2) \times BSU(2)\) tienen:
  • Anillos de cohomología entera isomorfos.
  • Anillos de cohomología módulo 2 isomorfos.
  • Grupos de homotopía isomorfos.
  • ¡Distinta acción del álgebra de Steenrod!

¡Gracias por su atención!

• Hay un coproducto amalgamado (homotópico) de espacios: \[\begin{CD} \RP^2 \times \{\pm 1\}^n @>>> (S^2 \times (S^1)^n)/\!\sim \\ @VVV @VVV \\ \{\pm 1\}^n @>>> \Hom(\Z^n, SU(2)) \end{CD}\]
• Variando \(n\) y tomando realización geométrica obtenemos un coproducto amalgamado homotópico para \(\Bcom SU(2)\): \[\begin{CD} \RP^2 \times \RP^\infty @>>> (S^2 \times \CP^{\infty})/\!\sim \\ @VVV @VVV \\ \RP^\infty @>>> \Bcom SU(2) \end{CD}\]

• Usando la aplicación canónica \(\Bcom SU(2) \to BSU(2)\), podemos darle a los cuatro espacios en el cuadro anterior aplicaciones compatibles a \(BSU(2)\). Tomando fibras homotópicas obtenemos un coproducto amalgamado homotópico para \(\Ecom SU(2)\): \[\begin{CD} \RP^2 \times \RP^3 @>>> (S^2 \times \CP^{1})/\!\sim \\ @VVV @VVV \\ \RP^3 @>>> \Ecom SU(2) \end{CD}\]

• Sea \(X\) el coproducto amalgamado homotópico que se obtiene restringiendo ese cuadro a una copia de \(\RP^2\) dentro de \(\RP^3\): \[\begin{CD} \RP^2 \times \RP^3 @>>> (S^2 \times \CP^{1})/\!\sim \\ @VVV @VVV \\ \RP^3 @>>> X \end{CD}\]
• Usando van Kampen y Mayer-Vietoris, calculamos que \(X\) es una 4-esfera homológica simplemente conexa, por lo que \(X \simeq S^4\).
• Es fácil ver que la cofibra homotópica de \(S^4 \to \Ecom SU(2)\) es \(\Sigma^4 \RP^2\). Para determinar que \(\Ecom SU(2)\) es simplemente la cuña se require un análisis más delicado.

Gracias de nuevo por su atención.