Tarea 1
Correspondencia entre ideales y variedades afines

Fecha de entrega: Lunes, 25 de agosto, 2025.

Sea \(k\) un campo y \(A:=k[x_{1}, \ldots, x_{n}]\) el anillo de polinomios en \(n\) variables con coeficientes en \(k\). No supondremos para esta tarea que \(k\) es algebraicamente cerrado a menos que se indique.

Recuerda las funciones \(V : \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(k^{n})\) e \(I : \mathcal{P}(k^{n}) \to \mathcal{P}(A)\) dadas por \(V(S) := \{t \in k^{n} : \forall f \in S, f(t) = 0\}\) e \(I(X) := \{f \in A : \forall t \in X, f(t) =0\}\).

1. Consideremos \(I(k^{n})\) en dos situaciones diferentes:
   1. Prueba que si \(k\) es infinito, \(I(k^{n}) = \{0\}\).
   2. Calcula \(I(\mathbb{F}_{p})\) (sugerencia: recuerda el pequeño teorema de Fermat).
2. Cuando \(k = \mathbb{C}\), el espacio afín \(k^{n} = \mathbb{C}^{n}\) lo podemos identificar con \(\mathbb{R}^{2n}\) y como tal tiene la topología euclideana usual (además de la de Zariski)
   1. Prueba que cualquier variedad afín en \(\mathbb{C}^{n}\) es cerrada en la topología euclideana.
   2. Sea \(B\) una bola euclideana en \(\mathbb{C}^{n}\). ¿Cuál es la variedad más pequeña que la contiene? (O sea, ¿cuál es su clausura en la topología de Zariski?)
3. Prueba que un campo algebraicamente cerrado necesariamente es infinito.
4. Prueba que el radical de un ideal de \(A\) es la intersección de todos los ideales maximales que lo contienen. (Sugerencia: usa el Nullstellensatz).
5. Prueba que si \(k = \mathbb{F}_{p}\), cualquier subconjunto de \(k^{n}\) es una variedad algebraica.