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Tarea 2

Fecha de entrega: martes 9 de diciembre.

Variedades afines

  1. Sea \(f : X \to Y\) es un morfismo entre variedades afines. Prueba que \(\mathsf{im}(f)\) es denso en \(Y\) si y solo si \(f^{\ast} : k[Y] \to k[X]\) es inyectiva.
  2. Prueba que \(\mathbb{A}^{1} \times \mathbb{A}^{1}\) y \(\mathbb{A}^{2}\) no son homeomorfos si a cada espacio afín se le dota con la topología de Zariski (y al producto con la topología producto). Esos dos espacios tienen el mismo conjunto de puntos, a saber \(k^{2}\). ¿La identidad es continua en alguna de las direcciones?
  3. Prueba que si \(X\) es una variedad irreducible, cualquier abierto es denso. ¿Qué pasa si \(X\) no es irreducible?, ¿cuáles son las posibles clausuras de abiertos de \(X\)?
  4. Sea \(X = \left\{ A \in \mathsf{Mat}_{n \times n}(k) : A \text{ es nilpotente} \right\}\).
    1. Prueba que \(X \subset \mathbb{A}^{n^2}\) es una variedad afín.
    2. Sea \(I\) el ideal de \(k[x_{ij}: 1 \le i, j \le n]\) generado por las entradas de la matriz \(A^{n}\) donde \(A = (x_{ij})_{1 \le i,j \le n}\). ¿Es cierto que \(X = V(I)\)? ¿Es cierto que \(I = I(X)\)? (Sugerencia: considera \(\mathsf{tr} A\)).
  5. Sea \(H \subset \mathbb{A}^{2}\) la hipérbola \(H = V(xy-1)\). Vimos en clase que el morfismo de \(H \to \mathbb{A}^{1}\) dado por \((s,t) \to s\) no es finito (a pesar de tener fibras finitas). Encuentra un morfismo \(H \to \mathbb{A}^{1}\) que sí sea finito.

Variedades proyectivas

  1. Considera la curva afín \(X=V(y^{2} - (x-1)(x-2)) \subset \mathbb{A}^{2}\) y su clausura proyectiva \(\bar{X} \subset \mathbb{P}^{2}\).
    1. Prueba que \(X\) es lisa.
    2. ¿Cuántos puntos hay en \(\bar{X} \setminus X\)? ¿Es \(\bar{X}\) singular en alguno de esos puntos?
    3. Calcula la explosión de \(\bar{X}\) en cada punto de \(\bar{X} \setminus X\). ¿Las explosiones son lisas o no?
  2. Un teorema célebre de Cauchy y Salmon dice que cualquier superficie en \(\mathbb{P}^{3}\) dada por una ecuación cúbica contiene 27 rectas. Encuentra las 27 rectas contenidas en la superficie de Clebsch, \(V(w^{3} + x^{3} + y^{3} + z^{3} - (w+x+y+z)^{3})\). ¿Cada una de ellas a cuantas otras intersecta?
  3. El teorema de Krull del ideal principal tiene la siguiente consecuencia geométrica: si \(X\) es una variedad afín y \(H\) es un hiperplano, ambos en \(\mathbb{A}^{n}\), entonces \(\dim(H \cap X) \ge \dim(X) - 1\).
    1. Usando eso prueba que si \(X\) y \(Y\) son variedades afínes en \(\mathbb{A}^{n}\) tales que \(\dim(X) + \dim(Y) \ge n\), entonces \(\dim(X \cap Y) \ge \dim(X) + \dim(Y) - n\). Sugerencia: considera \(X \times Y \subset \mathbb{A}^{n} \times \mathbb{A}^{n}\) y la diagonal \(\Delta \subset \mathbb{A}^{n} \times \mathbb{A}^{n}\).
    2. Prueba lo mismo para variedades proyectivas en \(\mathbb{P}^{n}\). Sugerencia: considera los conos afines de las variedades.

— Omar Antolín Camarena