Isometrías planas

1. (a) ¿Cuándo conmutan las reflexiones en dos rectas distintas?

   (b) ¿Cuándo conmuta la reflexión en un punto¹ con la reflexión en una recta?

2. Prueba que dadas dos rectas distintas en el plano siempre hay al menos una reflexión que envía una en la otra. De hecho, a veces hay exactamente una y a veces hay exactamente dos, ¿cuándo ocurre cada caso?
3. Sea \(ABC\) un tríangulo acutángulo y sean \(D\), \(E\) y \(F\) los pies de las perpendiculares de las alturas desde \(A\), \(B\) y \(C\) respectivamente. Prueba que la composición de las reflexiones en los lados del tríangulo \(ABC\), en el orden \[ \mathsf{refl}_{CA} \circ \mathsf{refl}_{BC} \circ \mathsf{refl}_{AB} \] es una reflexión con deslizamiento, cuyo eje de reflexión es la recta \(EF\) y cuya distancia de deslizamiento es el perímetro del tríangulo \(DEF\).

Estos problemas no mencionan isometrías, pero las isometrías y sus propiedades son útiles para resolverlos.

1. Sean \(M_1, M_2, \ldots, M_n\) puntos en el plano. Queremos encontrar otros \(n\) puntos \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) tales que \(M_{i}\) sea el punto medio de \(P_{i}P_{i+1}\) para \(i=1,2,\ldots,n\) (donde \(P_{n+1} := P_{1}\)).

   (a) Prueba que si \(n\) es impar, hay una única solución.

   (b) Prueba que si \(n\) es par, pasa una de dos cosas:

   • o bien no hay solución,
   • o bien hay una infinidad de soluciones y de hecho, \(P_{1}\) puede ser cualquier punto del plano, y una vez elegido \(P_{1}\), los puntos \(P_{2}, \ldots, P_{n}\) están determinados de manera única.

2. Exteriormente a los lados del triángulo \(ABC\) se construyen triángulos (isósceles) \(AFB\), \(BDC\) y \(CEA\) con \(AF=FB\), \(BD=DC\) y \(CE=EA\).

   Prueba que si \(\angle AFB + \angle BDC + \angle CEA = 360^{\circ}\), entonces los ángulos del triángulo \(DEF\) son \(\frac{1}{2}\angle BDC\), \(\frac{1}{2}\angle CEA\), y \(\frac{1}{2}\angle AFB\).