Grupos de isometrías
Fecha de entrega:
En el plano
- Demuestra que para cualquier \(n \ge 1\) hay un polígono con exactamente \(n\) simetrías.
- Si un polígono tiene exactamente \(3\) simetrías, ¿tiene que se un tríangulo?
- ¿Cuál es el menor número de lados de un polígono con 10 simetrías?
- Una cierta figura tiene 18 simetrías. ¿Cuántas simetrías que preservan orientación puede tener?
- Demuestra que si una rotación de \(120\) grados es una simetría de una figura, entonces el número total de simetrías que tiene debe ser múltiplo de 3.
- Demuestra que si un grupo contiene rotaciones del mismo ángulo α que no es múltiplo de \(360^{\circ}\) con dos centros diferentes, entonces contiene una infinidad de traslaciones diferentes.
En tres dimensiones
- ¿Cúantas isometrías tiene el cubo?
- Describe un poliedro que tenga exactamente 5 simetrías.
- ¿Cuáles son todas las simetrías de la curva espacial parametrizada por \((\cos(t), \sin(t), t)\)? Para este problema no necesitas justificar que encontraste todas las simetrías, solo dar la lista completa.
Conteo de órbitas
Se quiere pintar cada región de la siguiente figura con uno de \(k\) colores distintos.
- ¿Cuántas coloraciones diferentes hay si queremos considerar iguales dos coloraciones cuando una resulta de aplicar una rotación o reflexión a la otra?
- ¿Cuántas coloraciones diferentes hay si ahora solo queremos considerarlas iguales cuando una se puede obtener aplicando una rotación a la otra?