Geometría afín y proyectiva

1. Prueba que para cualquier cuadrilátero \(ABCD\) hay una transformación afín que lo envía en otro cuadrilátero \(A'B'C'D'\) tal que los puntos medios de los lados \(A'B'\), \(B'C'\), \(C'D'\), \(D'A'\) forman un cuadrado.

2. Considera las siguientes tres rectas:

   • \(\ell = \) el eje \(x\)
   • \(m = \) el eje \(y\)
   • \(n = \) la recta con ecuación \(x=y\).

   Nota que \(n\) es la bisectriz de \(\angle \ell m\). Da una fórmula explícita para una transformación afín que envíe esas rectas en tres rectas \(\ell'\), \(m'\) y \(n'\) tales que \(\angle \ell' n' = 60^{\circ}\) y \(\angle n' m' = 30^{\circ}\).

   (Recuerda que las fórmulas para transformaciones afines son de la forma \(f(x,y) = (ax+by+p,cx+dy+q)\) —aunque en este problema claramente no necesitas traslación así que puedes tomar \(p=q=0\)).

3. Prueba que las transformaciones afines preservan la razón de las longitudes de segmentos paralelos, es decir, que si \(AB \parallel CD\) y una transformación afín los envía en \(A'B' \parallel C'D'\), entonces \(\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}\).
4. Da un ejemplo explícito de que las transformaciones afines no siempre preservan la razón de longitudes de segmentos cuando éstos no son paralelos.

Recuerda que dados puntos en el plano proyectivo, digamos \(\langle u \rangle\) y \(\langle v \rangle\) donde \(u, v \in \mathbf{R}^{3}\) son vectores distintos de \(0\), cualquier punto de la recta que los une, salvo \(\langle v \rangle\) se puede escribir como \(\langle u + \lambda v \rangle\) para algún \(\lambda \in \mathbb{R}\) (e incluso tiene sentido permitir \(\lambda = \infty\) y decir que en ese caso obtenemos \(\langle v \rangle\)).

1. ¡Prueba que la \(\lambda\) de arriba no está bien definida! Es decir, da un ejemplo que ilustre que si tomamos vectores diferentes \(u'\) y \(v'\) para representar los mismos puntos (es decir, tales que \(\langle u' \rangle = \langle u \rangle\) y \(\langle v' \rangle = \langle v \rangle\)) y expresamos el punto \(\langle u + \lambda v \rangle \) en la forma \( \langle u' + \lambda' v' \rangle\), puede pasar que \(\lambda \neq \lambda'\).

2. (a) Definimos el conjugado armónico de \(\langle u + \lambda v \rangle\) con respecto a \(\langle u \rangle\) y \(\langle v \rangle\) como \(\langle u - \lambda v \rangle\). Prueba que a pesar de que la \(\lambda\) no está bien definida, ¡el conjugado armónico sí!

   (b) Prueba también que las proyectividades preservan conjugados armónicos.

3. Sea \(ABC\) un triángulo en el plano proyectivo y \(P\) un punto que no está sobre ninguno de los lados o sus prolongaciones. Definimos \(D = AP \cap BC\), \(E = BP \cap CA\), \(F = CP \cap AB\) y luego definimos:

   • \(D'\) como el conjugado armónico de \(D\) con respecto a \(B\) y \(C\),
   • \(E'\) como el conjugado armónico de \(E\) con respecto a \(C\) y \(A\), y
   • \(F'\) como el conjugado armónico de \(F\) con respecto a \(A\) y \(B\).

   Prueba que \(D'\), \(E'\) y \(F'\) son colineales.

   (Pregunta opcional: ¿qué tiene que ver este resultado con los teoremas de Ceva y Menelao?)

4. ¿Cuál es el dual del teorema enunciado en el problema anterior?

   Para este problema puedes dar por hecho que hay un concepto de conjugado armónico para rectas que es dual al concepto de conjugados armónico para puntos, de hecho se define prácticamente igual. Abajo están los detalles de esa definición, por si tienen curiosidad.

   Como vimos en clase hay una noción de coordenadas homogéneas para rectas también: una recta proyectiva realmente es un plano por el origen en \(\mathbb{R}^{3}\) y entonces tiene una ecuación de la forma \(ax+by+cz=0\); podemos usar para representar a la recta las coordenadas homogéneas \([a:b:c] = \langle n \rangle\), donde \(n = (a,b,c)\) es el vector normal al plano en \(\mathbb{R}^{3}\). Si tenemos otra recta con vector normal \(m\), (casi) cualquier recta concurrente con esas dos tiene vector normal \(m + \lambda n\) y podemos definir el conjugado armónico de \(\langle m + \lambda n \rangle\) con respecto a las rectas dadas por \(\langle m \rangle\) y \(\langle n \rangle\) como \(\langle m - \lambda n \rangle\).