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El programa Erlangen

Índice

En este curso hablaremos sobre varios tipos de geometría desde el punto de vista del programa Erlangen de Felix Klein. Hablaremos sobre geometría:

La idea central del programa Erlangen es que los distintos tipos de geometría están determinados por el tipo de transformaciones geométricas que se estudian. Cada geometría solo estudia conceptos que son preservados por el tipo designado de transformación para esa geometría.

Por ejemplo, en la geometría euclideana la noción básica es la distancia euclideana entre puntos, dada por \(d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{(u_{1} - v_{1})^{2} + \cdots + (u_{n} - v_{n})^{2}}\). Las transformaciones propias de la geometría euclideana son las isometrías, aquellas que preservan distancias.

Un transformación que preserva distancias automáticamente también preserva ángulos, áreas, perpendicularidad y paralelismo, por lo que todos esos conceptos pertencen a la geometría euclideana.

Noten el poder de la idea: si empezamos solo con la idea de distancia euclideana y el programa de Erlangen, eso nos lleva a considerar también las nociones de ángulo, área, etc.

Las transformaciones propias de una geometría pueden considerarse como las simetrías del correspondiente espacio y forman lo que se llama un grupo, esto quiere decir que para cualquier tipo de geometría sus transformaciones cumplen que:

En la versión más general y abstracta del programa Erlangen cualquier conjunto \(X\) dotado de un conjunto \(G\) de biyecciones \(X \to X\) que incluyan la identidad y sea cerrado bajo composición y tomar inversos podría considerarse como un tipo de geometría donde \(X\) es el espacio, es decir, el conjunto de puntos de la geometría y donde \(G\) es el grupo de transformaciones propias de esa geometría. En la práctica solo se usa el lenguaje geométrico para ciertos grupos de transformaciones \(G\) que tiene un cierto sabor «geométrico» que es difícil definir precisamente. Por ejemplo si uno toma \(X = \mathbb{R}^{n}\) y toma \(G\) como el grupo de todas las trasformaciones lineales invertibles \(X \to X\), al estudio de \((X,G)\) no le llamamos «geometría» sino «álgebra lineal». El curso se centrará por eso en cuatro geometrías específicas que la tradición marca como «realmente» geométricas y no en el estudio de todas las posibles parejas \((X,G)\).

Una pequeña nota histórica

El llamado programa Erlangen que unifica los distintos tipos de geometría como el estudio de la propiedades preservadas por un grupo de transformaciones apropiado fue escrito por Felix Klein para ser el discurso inaugural que diera al ser nombrado profesor en Erlangen en 1872 (aunque no terminó siendo el discurso que finalmente dió en esa ocasión). Ese escrito tuvo una influencia enorme en el desarrollo posterior de la geometría, tanto que es fácil ahora olvidar que Klein no fue el primero en observar la importancia que tenía la teoría de grupos para la geometría.

Klein trabajó de cerca con el matemático noruego Sophus Lie en Paris en 1870 en las ideas que figurarían después en el programa Erlangen. Lie a su vez apreció la importancia de los grupos de transformaciones para la geometría inspirado en conversaciones que sostuvo con Camille Jordan, sobre el grupo de isometrías del espacio euclideano. Lie sufrió de falta de reconocimiento en su época y acabó peleado con Klein. Para más detalles recomiendo leer la biografía de Sophus Lie en el proyecto MacTutor y las referencias ahí contenidas, particularmente el artículo de Eldar Straume (p. 18–22)

Referencias

Omar Antolín Camarena