Las isometrías en el plano euclideano
Índice
Una isometría del plano es una biyección \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\) que preserva distancias, es decir, que \(d(X,Y) = d(f(X), f(Y))\) para cualquier par de puntos en el plano.
De hecho, una función \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\) que preserva distancias automáticamente tiene que ser biyectiva, pero en el espiritu del programa Erlangen y para simplificar ligeramente la exposición, dejaremos la biyectividad en la definición.
Nuestro primer objetivo en el curso es clasificar las isometrías euclideanas del plano (que llamaremos simplemente isometrías aquí, para simplificar).
Una isometría está determinada por un triángulo y su imagen
Una isometría que fija tres puntos no colineales debe ser la identidad.
Supongamos que \(A\), \(B\) y \(C\) no son colineales y que una isometría \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\) cumple que \(f(A) = A\), \(f(B) = B\) y \(f(C) = C\). Debemos probar que \(f = \mathsf{id}\).
Sea \(P\) un punto cualquier del plano y sea \(P' := f(P)\). Como \(f\) es una isometría sabemos que: \[ d(A,P) = d(f(A), f(P)) = d(A, P'), \] y análogamente para \(B\) y \(C\).
Esto quiere decir que \(P'\) pertence a la intersección del círculo con centro en \(A\) y radio \(d(A,P)\) con el círculo con centro en \(B\) y radio \(d(B,P)\). Esa intersección contiene a \(P\). Así que hay dos posibilidades:
- Esos círculos son tangentes en \(P\), en cuyo caso \(P'=P\) y terminamos.
- Esos círculos se intersectan en \(P\) y otro punto \(Q\), en cuyo caso \(P'\) debe ser \(P\) o \(Q\).
En el segundo caso para decidir si \(P'\) es \(P\) o \(Q\), usaremos que \(d(C,P) = d(C,P')\). Si \(P'\) fuera \(Q\), tendríamos que \(C\) equidista de \(P\) y \(Q\), los puntos de intersección de los dos círculos antes mencionados, y por lo tanto \(C\) estaría sobre la recta que une sus centros, a saber \(AB\). Eso contradiría que \(A\), \(B\) y \(C\) son no colineales, por lo que concluímos que \(P'\) no puede ser \(Q\) y que debe ser \(P\).
Si \(A\), \(B\) y \(C\) son tres puntos no colineales y \(f\) y \(g\) son dos isometrías tales que \(f(A) = g(A)\), \(f(B) = g(B)\) y \(f(C) = g(C)\), entonces \(f = g\).
Noten que el lema anterior es el caso particular de éste cuando \(g = \mathsf{id}\). Deduciremos este lema de su caso particular, lo cual es un fenómeno recurrente en la matemática.
Consideremos la isometría \(h = f^{-1} \circ g\) (¿por qué \(h\) es isometría?). Tenemos que \(h(A) = f^{-1}(g(A)) = f^{-1}(f(A)) = A\) y análogamente \(h(B) = B\) y \(h(C) = C\). Por el lema anterior \(h = \mathsf{id}\), lo cual implica que \(f = g\).
Cualquier congruencia proviene de una isometría
Ahora sabemos que dado un par de triángulos congruentes hay a lo más una isometría que lleva al primero en el segundo, veamos que siempre existe una.
Si \(ABC \cong A'B'C'\), existe una isometría tal que \(f(A) = A'\), \(f(B) = B'\) y \(f(C) = C'\). Además, \(f\) es composición de a lo más 3 reflexiones en rectas.
Primero usemos a lo más una reflexión para llevar \(A\) a \(A'\). Si casualmente \(A' = A\), tomamos \(f_{1} = \mathsf{id}\); si son diferentes, sea \(f_{1}\) la reflexión en la mediatriz de \(AA'\). En cualquier caso tenemos que \(f_{1}(A) = A'\). Sean \(B_{1} := f_{1}(B)\) y \(C_1 := f_{1}(C)\).
Ahora usemos, si es necesario, una segunda reflexión para llevar \(B_{1}\) en \(B'_{}\) sin mover \(A'\). Si casualmente \(B' = B_{1}\) tomamos \(f_{2} = \mathsf{id}\); si son diferentes, sea \(f_{2}\) la reflexión en la bisectriz del ángulo \(B_1 A' B'\). Como \(f_{1}\) es una isometría y como \(ABC \cong A'B'C'\) tenemos que: \[ d(A', B_{1}) = d(f_{1}(A), f_{1}(B))_{} = d(A, B) = d(A', B'),\] por lo que la reflexión \(f_{2}\) cumple que \(f_{2}(A') = A'\) y \(f_{2}(B_{1}) = B'\). Sea \(C_{2} := f_{2}(C_{1})\).
Ya casi terminamos: \(f_2 \circ f_{1}\) envía \(A \mapsto A'\), \(B \mapsto B'\) y \(C \mapsto C_{2}\), así que \(ABC \cong A'B'C_{2}\). Por lo tanto \(A'B'C_{2} \cong A'B'C'\) y solo hay dos posibilidades: \(C_2 = C'\) o la reflexión en la recta \(A'B'\) lleva a \(C_2\) en \(C'\).
Catálogo de isometrías
Ahora sabemos que cada isometría euclideana en el plano es composición de a los más tres reflexiones. Para catalogar todas las isometrías basta determinar las posibles composiciones de reflexiones, que describimos a continuación:
La composición de dos reflexiones
Sean \(\ell\) y \(m\) dos rectas y sean \(\mathsf{refl}_{\ell}\) y \(\mathsf{refl}_{m}\) las reflexiones correspondientes. Hay dos posibilidades para las rectas:
Si son paralelas, \(\mathsf{refl}_m \circ \mathsf{refl}_{\ell}\) es una traslación por un vector perpendicular a \(\ell\) y \(m\), de magnitud el doble de la distancia entre ellas y dirigido de \(\ell\) hacia \(m\).
Nótese que cualesquiera dos rectas paralelas a \(\ell\) y \(m\) a la misma distancia que \(\ell\) y \(m\) producirían la misma composición.
Si se cortan en \(O\), entonces \(\mathsf{refl}_m \circ \mathsf{refl}_{\ell}\) es la rotación con centro en \(O\) de ángulo \(2 \alpha\) donde \(\alpha\) es el ángulo dirigido de \(\ell\) hacia \(m\).
Nótese cualesquiera dos rectas que pasen por \(O\) y hagan ese mismo ángulo \(\alpha\) producirían la misma rotación como composición.
La composición de tres reflexiones
Sean \(\ell\), \(m\) y \(n\) tres rectas. Analicemos la composición \(f := \mathsf{refl}_{\ell} \circ \mathsf{refl}_m \circ \mathsf{refl}_n\).
- Si \(m\) y \(n\) se cortan en \(O\) podemos tomar \(\ell'\) paralela \(\ell\) pasando por \(O\) y \(k\) pasando por \(O\) tal que \(\angle(\ell',k) = \angle(m,n)\). Entonces \(f = \mathsf{refl}_{\ell} \circ \mathsf{refl}_{\ell'} \circ \mathsf{refl}_k\), que es simplemente \(\mathsf{refl}_k\) si \(\ell = \ell'\), y de lo contrario es la composición de una traslación con \(\mathsf{refl}_k\).
- Si \(m\) y \(n\) son paralelas, entonces \(\mathsf{refl}_m \circ \mathsf{refl}_n\) es una traslación.
Así que en cualquier caso \(f\) se puede poner como composición de una traslación con una reflexión en algún orden.
Ahora probemos que una composición de una traslación con una reflexión es una reflexión con deslizamiento, es decir, que la composición se puede reescribir para que la traslación sea en una dirección paralela al eje de reflexión (nótese que en ese caso la traslación y la reflexión conmutan).
Para variar un poco las técnicas, hagamos esto con coordenadas. Coloquemos el eje \(x\) a lo largo del eje de reflexión, de modo que la reflexión es \((x,y) \mapsto (x,-y)\), y sea \((a,b)\) el vector de traslación.
- Si las componemos con la reflexión primero obtenemos \((x,y) \mapsto (x+a, -y+b)\) que es la traslación por \((a,0)\) compuesta con la reflexión en \(y = b/2\).
- Si las componemos con la traslación primero obtenemos \((x,y) \mapsto (x+a, -y-b)\) que es la traslación por \((a,0)\) compuesta con la reflexión en \(y = -b/2\).
Preguntas
La sección «Preguntas» en general va a contener cosas para pensar relativas al tema. Algunas son ejercicios «normales» donde está claro qué es una solución correcta, pero algunas son preguntas más «abiertas», «vagas» o «filosóficas», y tienen como motivo entender algo intuitivamente o entender porque las cosas se hacen de cierta forma. Estas preguntas son para discutir en el chat del curso o en la sesión de video.
- Aquí probamos que todas las isometrías del plano son traslaciones, rotaciones, reflexiones o reflexiones con deslizamiento. Para sentir que entendemos completamente el grupo de isometrías hace falta saber también cómo calcular de manera práctica la composición de cualesquier dos isometrías. Aquí iniciamos ese trabajo indicando como calcular la composición de dos o tres reflexiones (aunque fuímos un poco más explícitos en el caso de dos reflexiones). ¿Qué sucede en los demás casos de composición? En particular, ¿qué resulta la composición de dos rotaciones?
- También queremos poder traducir propiedades geométricas a propiedades de las isometrías. Por ejemplo, ¿cuándo conmutan dos reflexiones?, ¿cuándo conmutan dos rotaciones?