Teoremas de geometría a través de isometrías
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Se puede utilizar conocimiento de las propiedades de las isometrías para dar algunas deomstraciones elegantes de teoremas de geometría. Antes de dar unos ejemplos, necesitamos explicar cómo calcular la composición de rotaciones.
Composición de rotaciones
La composición de dos rotaciones con el mismo centro es muy fácil de calcular: \(\rot{O,\beta} \circ \rot{O,\alpha} = \rot{O, \alpha+\beta}\).
Cuando las rotaciones tienen centros diferentes la cosas se pone más interesante. Calculemos \(\rot{P,\beta} \circ \rot{O,\alpha}\). Para hacerlo, aprovechemos la libertad que hay para expresar una rotación como composición de dos reflexiones: si \(\ell\) y \(m\) son cualesquiera dos rectas que pasan por \(O\) tales que \(\angle(m,\ell) = \alpha/2\) tenemos que \(\refl{\ell} \circ \refl{m} = \rot{O,\alpha}\).
Entonces podemos escoger:
- \(\ell = OP\),
- \(m\) tal que \(O \in m\) y \(\angle(m,\ell)=\alpha/2\), y
- \(n\) tal que \(P \in n\) y \(\angle(\ell,n)=\beta/2\),
de modo que:
- \(\rot{O,\alpha} = \refl{\ell} \circ \refl{m}\) y
- \(\rot{P,\beta} = \refl{n} \circ \refl{\ell}\).
Al componer esas dos, \(\refl{\ell}\) se cancela y obtenemos que \[\rot{P,\beta} \circ \rot{O,\alpha} = \refl{n} \circ \refl{m}.\]
Ahora tenemos dos casos:
- \(m\) y \(n\) son paralelas
- Esto ocurre cuando \(\alpha/2 + \beta/2 = 180^{\circ}\), o sea, cuando \(\alpha + \beta = 360^{\circ}\), y en este caso la composición es una traslación por el vector perpendicular a \(m\) y \(n\) de longitud \(2 \mathsf{dist}(m,n)\).
- \(m\) y \(n\) se cortan en \(Q\)
- Entonces el ángulo exterior en \(Q\) del tríangulo \(OPQ\) es de \(\alpha/2 + \beta/2\) y la composición es una rotación con centro en \(Q\) y de ángulo el doble de eso, \(\alpha+\beta\).
Con un poco de análisis extra podemos demostrar que la composición de cualquier número de rotaciones es o bien una rotación o una traslación, y que es traslación cuando la suma de los ángulos de las rotaciones es múltiplo de \(360^{\circ}\).
Triángulos rectangulos isóceles sobre los lados de un tríangulo
Se contruyen exteriormente sobre los lados del triángulo \(ABC\) triángulos rectángulos isóceles \(PAB\) y \(QAC\) con los ángulos rectos en \(P\) y \(Q\). Si \(M\) es el punto medio del lado \(BC\), entonces el tríangulo \(MPQ\) es un triángulo rectángulo isósceles con el ángulo recto en \(M\)
Consideremos la composición \(f := \rot{Q, 90^{\circ}} \circ \rot{P,90^{\circ}}\), que debe ser una rotación de \(180^{\circ}\). Tenemos que \(\rot{P, 90^{\circ}}(B) = A\) y \(\rot{O, 90^{\circ}}(A) = C\), así que \(f(B) = C\). Una rotación de \(180^{\circ}\) que envía \(B\) en \(C\) debe tener su centro en \(M\).
Pero ahora recordemos la construcción geométrica del centro de la composición de dos rotaciones: se completa un tríangulo con un lado \(PQ\), el segmento que une los centros de rotaciones, y con ángulos en \(P\) y \(Q\) de la mitad de los respectivos ángulos de rotación; el tercer vértice es el centro de rotación de la composición, \(M\). Así sabemos que el triángulo \(PQM\) tiene ángulos de \(45^{\circ}\) en \(P\) y \(Q\), y por lo tanto es un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en \(M\).
Los puntos medios de los lados de una cuadrilátero
Sean \(P, Q, R, S\) los puntos medios de los segmentos \(AB, BC, CD, DA\) respectivamente. Entonces \(PQRS\) es un paralelogramo.
Abreviemos con \(\hat{X}\) la rotación de \(180^{\circ}\) con centro en \(X\). Consideremos la composición \(\hat{S} \circ \hat{R} \circ \hat{Q} \circ \hat{P}\). Como la suma de los ángulos de esas rotaciones es \(720^{\circ}\), la composición es una traslación. Como las sucesivas rotaciones envían a \(A\) en \(B\), \(B\) en \(C\), \(C\) en \(D\), y \(D\) en \(A\), obtenemos que la composición fija a \(A\) y por lo tanto, ¡es la identidad!
Entonces tenemos que \(\hat{S} \circ \hat{R} = \hat{P} \circ \hat{Q}\) (¿por qué?). Y ahora podemos usar nuestro conocimiento geométrico de cómo se componen las rotaciones: la composición \(\hat{Y} \circ \hat{X}\) de dos rotaciones de \(180^{\circ}\) es la traslación por el vector \(2 \vec{XY}\). Por lo tanto, de la igualdad de composiciones obtenemos que \(2 \vec{RS} = 2 \vec{QP}\) de donde obtenemos que \(PQRS\) es un paralelogramo.
El teorema de Napoleón
Si se construyen exteriormente sobre los lados del triángulo \(ABC\) tríangulos equiláteros, entonces sus centros forman un triángulo equilátero.
Sean \(P, Q, R\) los centros de los triángulos equiláteros sobre los lados \(AB\), \(BC\) y \(CA\) respectivamente. Consideremos la composición \(\rot{R,120^{\circ}} \circ \rot{Q,120^{\circ}} \circ \rot{P,120^{\circ}}\). Como los ángulos suman \(360^{\circ}\), la composición es una traslación. Como esas rotaciones sucesivas envían a \(A\) en \(B\), \(B\) en \(C\) y \(C\) en \(A\), la composición es la identidad.
Despejando obtenemos que \(\rot{Q,120^{\circ}} \circ \rot{P,120^{\circ}} = \rot{R,120^{\circ}}^{-1} = \rot{R,240^{\circ}}\). Para encontrar geométricamente el centro de la composición de las rotaciones en \(P\) y \(Q\), dibujamos un tríangulo sobre el segmento \(PQ\) con ángulos de la mitad de los ángulos de rotación, es decir, ambos de \(60^{\circ}\). El tercer vértice de este triángulo equilátero es \(R\), el centro de rotación de la composición.