Grupos de isometrías
Índice
Definición de grupo
Dado un conjunto cualquiera \(X\), denotamos por \(S_X\) el conjunto de todas las funciones biyectivas de \(X\) en \(X\). A las biyecciones de un conjunto consigo mismo se les llama permutaciones (particularmente cuando el conjunto es finito).
Para propósitos de este curso un grupo \(G\) es un subconjunto de algún conjunto \(S_{X}\) tal que:
- \(G\) es cerrado bajo composición, es decir, si \(f, g \in G\), entonces \(f \circ g \in G\);
- \(G\) contiene a la identidad; y
- \(G\) tiene inversos, es decir, si \(f \in G\), entonces \(f^{-1} \in G\).
Por ejemplo el conjunto de todas las isometrías del plano euclideano es un grupo: es un subconjunto de \(S_{\mathbb{R}^2}\) que cumple esas propiedades.
Algunos subconjuntos del grupo de isometrías son grupos también:
- Las traslaciones (incluyendo la identidad que es la traslación por el vector \(0\)).
- Las rotaciones con centro en un punto \(P\).
- Las rotaciones (con cualquier centro) junto con las traslaciones.
Grupo generado por un conjunto
Si \(S \subseteq S_{X}\) es un conjunto cualquiera de biyecciones \(X \to X\), definimos al grupo generado por \(S\) como la intersección de todos los grupos \(G\) tales que \(S \subseteq G \subseteq S_{X}\) y lo denotamos por \(\langle S \rangle\). Es fácil ver que \(\langle S \rangle\) es también un grupo. Por su definición es el grupo más pequeño que contiene a \(\langle S \rangle\) en el sentido de que está contenido en cualquier otro grupo que contiene a \(S\).
Se puede probar que \(\langle S \rangle = \{f_{1} \circ \cdots \circ f_{n} : n \ge 0, \forall i \ f_{i} \in S \vee f_{i}^{-1} \in G\}\) —donde para \(n=0\), se entiende que una composición de \(n\) factores es la identidad.
Tomar el grupo generado por algún conjunto es una receta para contruir muchos ejemplos de grupos.
Grupos generados por una sola isometría
Si \(S = \{f\}\) tiene un solo elemento, abreviaremos \(\langle \{f\} \rangle\) a \(\langle f \rangle\), que es más cómodo de escribir y de leer.
Cualquier grupo que contiene a \(f\) debe contener también a \(f^{0} = \id\), a \(f^{n} = f \circ \cdots \circ f\) y a \(f^{-n} = f^{-1} \circ \cdots \circ f^{-1}\). Como el conjunto \(\{f^{n} : n \in \mathbb{Z}\}\) es un grupo (¿por qué?), concluímos que \(\langle f \rangle = \{f^{n} : n \in \mathbb{Z}\}\).
Ahora, aunque ese conjunto parece infinito, no necesariamente lo es. Puede pasar que solo un número finito de las iteradas \(f^{n}\) sean distintas entre sí. Veamos que sucede para cada tipo de isometría:
- identidad
- \(\id^{n} = \id\) para toda \(n\), así que el grupo generado es \(\{\id\}\).
- traslación
- si \(f\) es una traslación por una distancia \(d \neq 0\), entonces \(f^{n}\) es una traslación por una distancia igual a \(nd\) (si \(n<0\), es una traslación de \(|n|d\) en el sentido contrario a \(f\)), así que las iteradas \(f^{n}\) son todas distintas.
- reflexión
- si \(f\) es una reflexión, \(f^{2} = \id\), así que \(f^{2n} = \id\), \(f^{2n+1} = f\), y \(\langle f \rangle = \{\id, f\}\).
- reflexión con deslizamiento
- Por la traslación que incluye, de nuevo tenemos que todas las iteradas \(f^{n}\) son distintas entre sí y el grupo generado es infinito (numerable).
- rotación
Este es el caso más interesante. Si \(f = \rot{O,\alpha}\), entonces \(f^{n} = \rot{O,n\alpha}\). Puede haber repetición en esas rotaciones porque si dos ángulos difieren por un múltiplo de \(360^{\circ}\) producen la misma rotación.
Hay dos de esos ángulos que difieren por un múltiplo de \(360^{\circ}\) si y solo si \(\alpha\) mide un número racional de grados. En efecto, si \(m\alpha - n\alpha = 360^{\circ} k\), entonces \(\alpha = \frac{360k}{n}^{\circ}\); y si \(\alpha = \frac{p}{q}^{\circ}\), entonces \(360q\alpha - 0\alpha = 360^{\circ} p\).
Si \(\alpha\) es racional y \(k\) es el mínimo entero positivo tal que \(k\alpha\) es un múltiplo de \(360^{\circ}\), entonces \(\rot{O,n\alpha}\) solo depende del residuo de dividir \(n\) entre \(k\). En efecto, si \(n=qk+r\), tenemos que \(n\alpha - r\alpha = qk\alpha\) es múltiplo de \(360^{\circ}\). Así que en este caso \(\langle f \rangle = \{\rot{O,n\alpha} : 0 \le n < k\}\) tiene \(n\) elementos.
Cuando la medida de \(\alpha\) en grados es irracional todas las rotaciones \(\rot{O,n\alpha}\) son diferentes entre sí, y el grupo generado por la rotación es infinito.
En el caso de la rotación por un ángulo irracional la órbita de cualquier punto \(P \neq O\), es decir, los puntos \(\mathcal{P} := \{\rot{O,n\alpha}(P) : n \in Z\}\), son densos sobre el círculo de centro \(O\) y radio \(OP\). Esto quiere decir que cualquier arco de ese círculo, por pequeño que sea, contiene puntos del conjunto \(\mathcal{P}\).
El grupo de simetrías de una figura
Esta es otra fuente de grupos: dada cualquier figura en el plano el conjunto de todas las isometrías que son una simetría de la figura forma un grupo. Formalmente si \(S \subset \mathbb{R}^{2}\) es cualquier conjunto de puntos, su grupo de simaetrías es: \[\Isom(S) := \{f \in \Isom(\mathbb{R}^{2}) : f(S) = S\}.\]
Nótese que \(f(S) = S\) no quiere decir que \(f\) deja fijo a cada punto de \(S\), sino que \(f\) envía cada punto de \(S\) a un punto posiblemente diferente de \(S\).
Cuando \(S\) es un conjunto finito de 3 o más puntos, usando que una isometría está determinada por sus valores en tres puntos, es fácil ver que \(\Isom(S)\) es un grupo finito. (De hecho, también es finito si \(S\) consta de dos puntos, por un argumento ligeramente distinto).
Grupos finitos de isometrías
Ahora encontraremos todos los grupos finitos de isometrías en el plano. Para eso la clave será probar que cualquier grupo finito de isometrías tiene un punto fijo, lo cual haremos usandos baricentros.
Baricentros
El baricentro de un conjunto finito de puntos \(x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}^{2}\), el baricentro es \(\frac{1}{n}(x_{1} + \cdots + x_{n})\). Los baricentros son un concepto de geometría euclideana en el sentido del programa Erlangen de Klein: las isometrías preservan baricentros, lo cual signfica lo que dice el siguiente lema.
Si \(g \in \Isom(\mathbb{R}^{2})\) y \(x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbf{R}^{2}\) entonces \(g\) envia el baricentro de las \(x_{i}\) al baricentro de los puntos \(g(x_{i})\).
Se puede dar una prueba muy geométrica de este hecho, dando una construcción geométrica del baricentro. En este procedimiento está claro que cada paso usa solo operaciones que son respetadas por cualquier isometría.
Construcción del baricentro. Construiremos una serie de puntos \(y_{1}, \ldots, y_{n}\) tales que \(y_k\) es el baricentro de \(x_{1},\ldots,x_{k}\) para cada \(k\).
- Tomamos \(y_{1} = x_1\) y \(y_{2}\) el punto medio del segmento \(x_{1}x_{2}\).
- Si ya está construido \(y_{k}\) para obtener \(y_{k+1}\) tomamos el punto sobre el segmento \(y_{k}x_{k+1}\) que lo divide en razón \(1/k\), es decir \(y_{k}y_{k+1} / y_{k+1}x_{k+1} = 1/k\).
Usemos la construcción de arriba para construir el baricentro de \(x_{1},\ldots,x_{n}\) obteniendo puntos \(y_{1},\ldots,y_{n}\). Ahora probemos por inducción que \(g(y_1), \ldots, g(y_{n})\) son precisamente los puntos obtenidos si usamos esa construcción para hallar el baricentro de \(g(x_{1}), \ldots, g(x_{n})\).
La base de la inducción es clara, porque \(y_{1} = x_{1}\) así que \(g(y_{1}) = g(x_{1})\). Ahora supongamos que \(g(y_{k})\) es el baricentro de \(g(x_{1}), \ldots, g(x_{k})\). Por la hipótesis inductiva \(g(y_{k})\) es el \(k\)-ésimo punto obtenido en la contrucción del baricentro de los puntos \(g(x_{1}), \ldots, g(x_{n})\). Como \(y_{k+1}\) se construye dividiendo el segmento \(y_{k}x_{k+1}\) en la razón \(1/k\), cuando aplicamos la isometría tenemos que \(g(y_{k+1})\) divide al segmento que une \(g(y_{k})\) y \(g(x_{k+1})\) en la razón \(1/k\), y esto nos dice que \(g(y_{k+1})\) es el \(k+1\)-ésimo punto de la construcción para \(g(x_{1}), \ldots, g(x_{n})\).
También es posible dar una prueba más bien algebraica del lema, que depende a su vez de la siguiente proposición:
Si \(g\) es una isometría en el plano, entonces la función \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\) dada por \(f(x) := g(x) - g(0)\) es lineal (es decir, \(f(u+v)=f(u)+f(v)\) y \(f(\lambda v) = \lambda v\)).
Como ya tenemos la clasificación completa de las isometrías en el plano, esta proposición la podemos probar por casos. La función \(f\) es la composición de \(g\) con la traslación por el vector \(-g(0)\), así que \(f\) es una isometría también y cumple que \(f(0) = g(0) - g(0) = 0\), es decir, \(f\) fija al origen.
Las isometrías que fijan el origen son:
- rotaciones con centro en el origen, y
- reflexiones en una recta que pasa por el origen.
Y solo queda verificar que en esos dos casos la isometría es lineal, es decir, dada por alguna matriz \(A\) por la fórmula \(f(v)=Av\) —donde pensamos en \(v\) como una matriz de \(2 \times 1\). Esto es algo que probablemente vieron en Geometría Analítica II, dando fórmulas para esas isometrías.
- la rotación de ángulo \(\alpha\) está dada por la matriz \[\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\]
- la reflexión en la recta que hace ángulo \(\alpha/2\) con el eje \(x\) está dada por la matriz \[\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix}\]
Como esas eran las únicas posibilidades para una isometría que fija al origen, concluímos la prueba.
También es posible demostrar esa proposición de otra forma que no depende de saber la clasificación de las isometrías y que funciona en cualquier número de dimensiones, no solo en \(\mathbb{R}^{2}\).
Con esa proposición podemos dar otra prueba del lema:
Sea \(f(x) := g(x)-g(0)\), que es una función lineal. Tenemos que: \[\begin{aligned} g\bigl(\frac{1}{n}(x_{1} + \cdots + x_{n})\bigr) & = f\bigl(\frac{1}{n}(x_{1} + \cdots + x_{n})\bigr) + g(0) \\ & = \frac{1}{n}(f(x_{1}) + \ldots + f(x_{n})) + g(0) \\ & = \frac{1}{n} \bigl((f(x_{1}) + g(0)) + \cdots + (f(x_{n}) + g(0))\bigr) \\ & = \frac{1}{n}(g(x_{1}) + \cdots + g(x_{n})) \end{aligned}\] La segunda igualdad usa la linealidad de \(f\).
Un grupo finito de isometrías tiene un punto fijo
Antes de explicar cómo obtener un punto fijo para un grupo finito de isometrías, necesitamos una observación sencilla sobre grupos. Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\). Entonces podemos definir dos funciones como sigue: \(I_{g} : G \to G\), \(I_{g}(g') := g \circ g'\); y \(D_{g} : G \to G\), \(D_{g}(g') = g' \circ g\). Esas funciones realmente toman valores en \(G\) porque \(G\) es cerrado bajo composición. La función \(I_{g}\) se llama «composición con \(g\) por la izquierda» y \(D_{g}\) es «composición con \(g\) por la derecha», por eso escogí esas letras para ellas.
La observación que necesitaremos usar más adelante es que \(I_{g}\) y \(D_{g}\) son biyecciones. Para probarlo podemos dar sus inversas: como \(G\) es cerrado bajo tomar funciones inversas, \(g^{-1} \in G\) y es fácil ver que \(I_{g^{-1}}\) es la inversa de \(I_g\) y que \(D_{g^{-1}}\) es la inversa de \(D_g\).
Ahora, dado un grupo \(G\) y un punto \(x\) definimos la órbita de \(x\) bajo \(G\) como el conjunto de puntos a los que los elementos de \(G\) manda a \(x\), en símbolos, \(G \cdot x := \{g(x) : g \in G\}\). Que para cualquier \(g \in G\) la función \(D_g :G \to G\) sea una biyección implica que \(G \cdot g(x) = G \cdot x\), y que \(I_{g} : G \to G\) sea biyección implica que \(g(G \cdot x) = G \cdot x\).
Si \(G\) es un grupo finito de isometrías del plano, entonces hay un punto \(p\) fijo bajo \(G\), es decir un punto \(p\) tal que \(g(p)=p\) para toda \(g \in G\).
Sea \(x\) cualquier punto en el plano y consideramos la órbita \(G \cdot x\). Como \(G\) es finito, la órbita es un conjunto finito de puntos. Sea \(p\) el baricentro de \(G \cdot x\); probaremos que \(g(p) = p\) para todo \(g \in G\). Por lo que vimos sobre el comportamiento de baricentros bajo isometrías, tenemos que \(g(p)\) es el baricentro del conjunto de puntos \(g(G \cdot x)\), pero acabamos de ver que \(g(G \cdot x) = G \cdot x\), así que \(g(p)\) es el baricentro de \(G \cdot x\), es decir, \(g(p) = p\).
Clasificación de los grupos finitos de isometrías del plano
Sea \(G\) un grupo finito de isometrías del plano. Ya sabemos que existe al menos un punto \(p\) tal que \(g(p) = p\) para toda \(g \in G\). Eso quiere decir que los elementos de \(G\) solo pueden ser:
- la identidad,
- una reflexión en alguna recta que pasa por \(p\),
- una rotación con centro en \(p\).
(Ninguna traslación por un vector distinto de cero y ninguna reflexión con deslizamiento no cero tienen puntos fijos).
Caso 1: \(G\) no contiene rotaciones. En este caso \(G\) puede contener a lo más una reflexión, pues si tuviera dos su composición sería una rotación que también tendría que estar en \(G\). Así que en este caso los grupos posibles son \(G = \{\id\}\) y \(G = \{\id, \refl{\ell} \}\).
Caso 2: \(G\) sí contiene rotaciones. Estudiemos primero qué rotaciones pueden estar en \(G\). Sea \(A = \{ \alpha : 0 < \alpha < 360^{\circ}, \rot{p,\alpha} \in G\}\) el conjunto de ángulos estríctamente entre 0 y 360 grados de las rotaciones que hay en \(G\); éste es un conjunto finito de ángulos.
Yo afirmo que sí tomamos el menor de los ángulos en \(A\), digamos \(\alpha := \min(A)\), entonces (1) \(\alpha\) es de la forma \(360^{\circ} / n\) para algún entero positivo \(n\) y (2) los ángulos de las rotaciones en \(G\) son precisamente los múltiplos de esa \(\alpha\) mínima.
Para probar ambas afirmaciones usaremos la misma idea. Sea \(\beta > 0\) un ángulo tal que \(\rot{p,\beta} \in G\) y sea \(n\) el entero positivo tal que \(n \alpha \le \beta < (n+1) \alpha\). Reacomodando esas desigualdades, tenemos que \(0 \le \beta - n \alpha < \alpha\). Como \(\rot{p,\alpha}, \rot{p,\beta} \in G\), obtenemos que \(\rot{p, \beta - n \alpha} = \rot{p, \beta} \circ \underbrace{\rot{p, \alpha}^{-1} \circ \cdots \circ \rot{p,\alpha}^{-1}}_{{n}}\) también pertence al grupo \(G\). Si \(\beta - n \alpha\) no fuera 0, sería un elemento de \(A\) que es menor que el mínimo, lo cual es absurdo. Por lo tanto, \(\beta = n \alpha\).
Si aplicamos ese argumento con \(\beta = 360^{\circ}\) probamos que \(\alpha = 360^{\circ} / n\). Luego si volvemos a aplicar el argumento con cualquier \(\beta \in A\) vemos que los ángulos de las rotaciones en \(G\) son precisamente los múltiplos de \(\alpha\).
Hasta ahora lo que hemos hecho es identificar las posibilidades para el conjunto de rotaciones presentes en \(G\): vimos que existe algún entero positivo \(n\) tal que las rotaciones que hay en \(G\) son precisamente \(\{\rot{p, 360^{\circ} k/n} : 0 \le k < n\}\).
Ahora tenemos que ver qué posibilidades hay para las reflexiones en \(G\):
Caso 2a: Sí hay rotaciones pero no hay reflexiones. Entonces, por lo que vimos, \(G = \{\rot{p, 360^{\circ} k/n} : 0 \le k < n\} = \langle\rot{p, 360^{\circ} / n}\rangle\) para alguna \(n\).
Caso 2b: Hay tanto rotaciones como reflexiones. Si \(\ell\) es una recta tal que \(\refl{\ell} \in G\), podemos encontrar las demás reflexiones en \(G\) como sigue: \[\refl{m} \in G \iff \refl{m} \circ \refl{\ell} \in G \iff \rot{p, 2\angle(\ell,m)} \in G \iff \exists k \; \angle(\ell, m) = 180^{\circ} k/n.\]
Así que en este caso obtenemos que existe un entero positivo \(n\) y existe una recta \(\ell\) que pasa por \(p\) tal que \[G = \{\rot{p,360^{\circ} k/n} : 0 \le k < n\} \cup \{\refl{m} : \angle(\ell,m) = 180^{\circ} k/n, 0 \le k < n\}.\] Ese último grupo es el grupo de simetrías de un \(n\)-ágono regular.
Si \(G\) es un grupo finito de isometrías del plano, entonces \(G\) de ser de uno de las siguientes formas:
- \(G = \{\id\}\).
- \(G = \langle\refl{\ell}\rangle = \{\id, \refl{\ell}\}\) para alguna recta \(\ell\).
- \(G = \langle\rot{P, 360^{\circ} / n}\rangle\) para algún punto \(P\) y entero \(n > 1\).
- \(G = \langle\refl{\ell}, \rot{P, 360^{\circ} / n}\rangle = \{\rot{p,360^{\circ} k/n} : 0 \le k < n\} \cup \{\refl{m} : \angle(\ell,m) = 180^{\circ} k/n, 0 \le k < n\}\) para algún punto \(P\), alguna recta \(\ell\) que pasa por \(P\) y algún entero \(n>1\).