Posibles temas para la exposición

El capítulo 14 titulado Applications to group theory del libro Categories and Groupoids de Higgins contiene pruebas conceptuales muy bonitas de los teoremas de Nielsen-Schreir, de Kurosh y de Grushko en la teoría de grupos. El teorema de Nielsen-Schreir es tal vez particularmente interesante porque la prueba con grupoides sigue muy de cerca la prueba topólogica usando espacios cubrientes y es bastante más clara que las pruebas que usan sólo grupos (y no grupoides).

La teoría de especies combinatorias de Joyal es una manera muy elegante de organizar el uso de funciones generatrices en la combinatoria. La idea clave es que es posible dar una definición general pero precisa de «un tipo de objeto combinatorio que uno podría querer contar», lo que Joyal llamó una especie. Hay una especie de gráficas, una especia de árboles, una especie de órdenes parciales, etc. A una especie es un grupoide cuyos objetos son las estructuras de ese tipo y cuyos morfismos son simplemente los isomorfismos entre ellos; éste grupoide debe venir equipado con un funtor cubriente al grupoide de conjuntos finitos y biyecciones –este funtor cubriente representa la operación de tomar el «conjunto de vértices» de una estructura de la especie. Equivalentemente, una especie es un funtor del grupoide de conjuntos finitos y biyecciones a la categoría de conjuntos. Uno puede asociarle varios tipos de funciones generatrices a una especie y operaciones combinatorias razonables con especies corresponden a operaciones algebraicas con sus funciones generatrices.

Hay un buen libro de texto sobre especies que desafortundamente minimiza el papel de los grupoides en la teoría: Combinatorial Species and Tree-like Structures por F. Bergeron, G. Labelle and P. Leroux. El artículo original de Joyal sobre especies, Une théorie combinatoire des séries formelles es fantástico y sí aprovecha la teoría de grupoides. Sugiero echarle un ojo al artículo de Joyal a menos que no lean francés.

Los «tipos de cosas» son una generalización de las especies combinatorias debida a John Baez y James Dolan. Una especie es un funtor cubriente de groupoides \(\mathcal{G} \to \mathbb{B}\) donde \(\mathbb{B}\) es el grupoide de conjuntos finitos y biyecciones. Un tipo de cosas es un funtor arbitrario \(\mathcal{G} \to \mathbb{B}\) donde \(\mathcal{G}\) es un grupoide. Pueden leer sobre ellos en el divertido artículo From Finite Sets to Feynman Diagrams, donde aparecieron por primer vez, o en la tesis de licenciatura de Simon Bryne de Macquarie University, On groupoids and stuff.

Hay una forma de hacer álgebra lineal con grupoides en lugar de espacios vectoriales. Dado un grupoide \(\mathcal{G}\) podemos formar el espacio vectorial \(V(\mathcal{G})\) de combinaciones lineales formales de clases de isomorfismo de objetos de \(\mathcal{G}\); y dado un palmo de grupoides, \(\mathcal{G} \leftarrow \mathcal{S} \to \mathcal{H}\), podemos definir una transformación lineal \(V(\mathcal{G}) \to V(\mathcal{H})\) en la que \(\mathcal{S}\) juega un papel análogo a la matriz de la transformación. John Baez explica todo esto muy claramente en The Tale of Groupoidification. Para un poco más de detalle, recomiendo Groupoidification Made Easy de Baez, Hoffnung y Walker.

La teoría de Galois es análoga a y está estrechamente relacionada con la teoría de espacios cubrientes conexos de un espacio conexo. Para obtener un análogo algebraico de todos los espacios cubrientes, uno debe considerar anillos y no solo campos. En ese caso, al igual que pasa con espacios cubrientes, uno necesita un grupoide de Galois en lugar del grupo usual de Galois. Recomiendo leer el siguiente artículo:

O. E. Villamayor and D. Zelinsky, Galois theory for rings with finitely many idempotents, Nagoya Math. J. Volume 27, Part 2 (1966), 721-731.

Villamayor and Zelinsky muestran que dados anillos conmutativos \(R \subset S\) cumpliendo algunas condiciones hay una biyección entre subálgebras proyectivas y separablesde \(S\) y ciertos subgrupos del grupo de automorfismos de \(S\) sobre \(R\). Prueban la biyección usando ciertos subgrupoides del grupoide de isomorfismos entre sumandos indescomponibles de \(S\).