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Ejemplos de categorías

Índice

Fecha de entrega: 12 de febrero, 2018.

El propósito de esta tarea es que se familiaricen con los conceptos básicos de la teoría de categorías: categorías, funtores, transformaciones naturales y equivalencias de categorías.

Grupos como categorías

Dado un grupo \(G\) podemos formar una categoría que denotaremos \(BG\) como sigue:

  • \(BG\) tiene un solo objeto, digamos \(\ast\).
  • \(\mathrm{Hom}_{BG}(\ast, \ast) = G\) y la composición está dada por la operación de grupo de \(G\).

Esta construcción también funcionaría si \(G\) fuera meramente un monoide. Como \(G\) es un grupo la categoría obtenida es un grupoide.

  1. Dados dos grupos, podemos formar la categoría de funtores \(\mathrm{Fun}(BG, BH)\).

    a) Describe \(\mathrm{Fun}(BG, BH)\) en términos de conceptos de la teoría de grupos.

    b) Da un ejemplos de grupos \(G \neq 1\) y \(H \neq 1\) tales que \(\mathrm{Fun}(BG, BH)\) es isomorfo a \(BK\) para algún otro grupo \(K\).

    c) Muestra que si \(H\) es abeliano, \(\mathrm{Fun}(BG, BH)\) es isomorfo a \(BH \times \mathcal{C}\) para alguna otra categoría \(\mathcal{C}\).

  2. Para própositos de esta tarea, definimos la categoría de lazos libres de una categoría \(\mathcal{C}\) como \(L\mathcal{C} := \mathrm{Fun}(B \mathbb{Z}, \mathcal{C})\).

    a) Prueba que un functor \(B\mathbb{Z} \to \mathcal{C}\) es «básicamente lo mismo que un automorfismo en \(\mathcal{C}\)». (Parte del ejercicio es enunciar eso de manera precisa.)

    b) Prueba que para un grupo \(G\), el grupoide \(LBG\) es equivalente a una unión ajena \(\bigsqcup_{g \in R} BC_G(g)\) donde \(R\) es un conjunto de representantes de las clases de conjugación de \(G\) y \(C_G(g) = \{h \in G : gh=hg\}\) es el centralizador de \(g\).

    c) Encuentra una categoría \(\mathcal{C}\) que contenga morfismos que no son una indentidad tal que \(L\mathcal{C}\) sea equivalente a \(\mathcal{C}\).

    d) Encuentra una fórmula para la \(n\)-ésima categoría de lazos libres de \(BS_3\), salvo equivalencia. Esto es, encuentra una descripción simple y explłicita de una categoría equivalente a \(L^n BS_3 := L(L(\cdots L(BS_3)))\).

Categorías pequeñitas

  1. El número de clases de isomorfismo de monoides con 1, 2, 3 o 4 elementos es 1, 2, 7 y 35, respectivamente. Usando eso encuentra el número de clases de isomorfismo de categorías con exactamente 4 morfismos. De esas, ¿habrá dos equivalentes?
  2. a) ¿Hay dos categorías finitas equivalentes pero no isomorfas que tengan el mismo número de morfismos?

    b) ¿Hay dos categorías finitas equivalentes pero no isomorfas que tengan el mismo número de objetos y el mismo número de morfismos?

Omar Antolín Camarena