Coproductos amalgamados y temas afines

1. Ejemplos del álgebra.

   a) Encuentra el coproducto amalgamado de \(\mathbb{R}[x] \hookleftarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}[x]\) en la categoría de anillos conmutativos.

   b) ¿Existe el coproducto de \(\mathbb{C}\) consigo mismo en la categoría de campos?

   c) Prueba que en la categoría de grupos abelianos, el coproducto amalgamado de \(B \xleftarrow{f} A \xrightarrow{g} C\) es \((B \oplus C)/M\) donde \(M\) es el subgrupo de \(B \oplus C\) dado por \(\{(f(a),-g(a)) : a \in A\}\).

2. Dado un subconjunto \(S\) del cuadrado \([0,1] \times [0,1]\), podemos formar el coproducto amalgamado en la categoría de espacios topológicos de las proyecciones a la primer y segunda coordenada, es decir, el coproducto amalgamado de \([0,1] \xleftarrow{p_1} S \xrightarrow{p_2} [0,1]\). Calcúlalo en cada uno de los siguientes casos:
   • \(S = \{0,1\} \times \{0,1\}\).
   • \(S = \{(x,x) : x \in [0,1]\}\).
   • \(S = \{(x,y) : (x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\}\).
   • \(S = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \times [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]\).

3. Supón que \(\mathcal{C}\) es una categoría con objeto inicial \(I\). Entonces para cualesquiera dos objetos \(A\) y \(B\) en \(\mathcal{C}\), prueba que el coproducto \(A \cup B\) es isomorfo al coproducto amalgamado de \(A \leftarrow I \to B\), donde los morfismos de \(I\) a \(A\) y a \(B\) son los únicos que hay. (Esto significa probar que el coproducto existe si y sólo si existe ese coproducto amalgamado y que cuando ambos existen son isomorfos.)

Recuerda que decimos que un objeto \(A\) en una categoría es un retracto de un objeto \(B\) si existen morfismos \(i : A \to B\) y \(r : B \to A\) tales que \(r \circ i = \mathrm{id}_A\). El morfismo \(r\) se llama retracción.

4. Ejemplos de retractos en distintas categorías:

   a) En la categoría de conjuntos, la afirmación que dice que una función es una retracción si y solo si es suprayectiva es equivalente a otra más famosa. ¿Cómo se llama esa afirmación famosa? Prueba la equivalencia.

   b) Prueba que en la categoría de espacios topológicos el círculo \(S^1\) no es retracto de \(D^2\), el disco de dimensión 2. Sugerencia: llega a una contradicción usando el teorema de Seifert-van Kampen.

   c) Prueba que en la categoría de grupos abelianos si \(A\) es retracto de \(B\), existe otro grupo abeliano \(C\) y un isomorfismo \(B \cong A \oplus C\).

5. Sea \(\square\) el «cuadrado conmutativo», es decir, la categoría con cuatro objetos y cinco morfismos no identidad, los cuatro mostrados abajo, junto con \(g \circ f = k \circ h\):

   \[\require{amsCd} \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{h}VV @VV{g}V \\ C @>{k}>> D \end{CD}\]

   Dada cualquier otra categoría \(\mathcal{C}\), la categoría de cuadros conmutativos en \(C\) se define como la categoría de funtores \(\mathcal{C}^{\square} := \mathrm{Fun}(\square, \mathcal{C})\). Decimos que un cuadro conmutativo en \(\mathcal{C}\) es retracto de otro, si eso ocurre pensándolos como objetos en \(\mathcal{C}^{\square}\). Prueba que un retracto de un coproducto amalgamado también es un coproducto amalgamado.