Espacios cubrientes
Fecha de entrega: lunes 30 de abril, 2018
Ejemplos de cubrientes
- ¿Cuántos subgrupos de índice 2 tiene \(F_2\) (el grupo libre con dos generadores)? Ilustra tu respuesta dibujando cubrientes.
- Dibuja el cubriente universal de \(S^2 \vee S^1\). Aquí \(X \vee Y\) es el cociente de \(X \sqcup Y\) en el que se identifica el punto base de \(X\) con el punto base de \(Y\).
Endomorfismos vs automorfismos
Sea \(p : Y \to X\) una aplicación cubriente con \(X\) y \(Y\) conexo por trayectorias y statisfaciendo las «hipótesis usuales» (a saber, que \(X\) es localmente conexo por trayectorias y semilocalmente simplemente conexo). Recuerda que un endomorfismo de \(p\) es un función continua \(f : Y \to Y\) tal que \(f \circ p = p\) y que es un automorfismo si tiene un endomorfismo inverso.
a) Prueba que un endomorfismo \(f\) es un automorfismo si y sólo si \(f : Y \to Y\) es un homemorfismo.
b) Describe el grupo de automorfismos de \(p\) en términos de \(G := \pi_1(X, p(y_0))\) y de \(H := \pi_1(Y, y_0)\).
c) Si el grupo fundamental de \(Y\) es finito, prueba que todos los endomorfismos de \(p\) son automáticamente automorfismos.
d) Da un ejemplo de un endomorfismos de un cubriente \(p\) (con \(X\) y \(Y\) conexos por trayectorias) que no sea automorfismo.
Cubrientes del toro
Consideremos a \(S^1\) como el conjunto de complejos de norma 1. Sean \(a,b,c,d\) enteros y sea \(f : S^1 \times S^1 \to S^1 \times S^1\) la función \((z,w) \mapsto (z^a w^b, z^c w^d)\).
a) ¿Qué deben cumplir \(a,b,c,d\) para que \(f\) sea un aplicación cubriente?
b) En ese caso, ¿de cuántas hojas es el cubriente en términos de \(a,b,c,d\)?
- ¿Cuántas clases de isomorfismo de cubrientes conexos de \(n\) hojas tiene el toro en términos de \(n\)? Sugerencia: si necesitan contar subgrupos de \(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\), usen la forma normal de Hermite de una matriz entera.