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Sistemas de ecuaciones lineales y matrices escalonadas

Índice

Fecha de entrega: martes 20 de agosto.

Practica resolver sistemas de ecuaciones lineales

Los problemas de esta sección no son para entregar.

  • Resuelve \[\begin{aligned} 2x_2 + 4x_3 & = 2 \\ 2x_1 + 4x_2 + 2x_3 & = 3 \\ 3x_1 + 3x_2 + x_3 & = 1 \end{aligned}\] y \[\begin{aligned} 2x_2 + 4x_3 & = -2 \\ 2x_1 + 4x_2 + 2x_3 & = 2 \\ 3x_1 + 3x_2 + x_3 & = 2 \end{aligned}.\] Sugerencia: has una sola matriz aumentada con las dos columnas de «lados derechos».
  • Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema no lineal de ecuaciones: \[\begin{aligned} (2x-3y-1)(x+2y-1) & = 0 \\ (3x+6y-3)(x+y-2) & = 0 \end{aligned}\]

Sistemas de ecuaciones lineales

  1. Da ejemplos de un sistema de ecuaciones lineales con 2 ecuaciones y 3 incógnitas con soluciones como se describe en cada una de las siguientes situaciones o explica porque no es posible:
    1. Sin solución.
    2. Con una única solución.
    3. Cuya familia de soluciones es de 1 parámetro.
    4. Cuya familia de soluciones es de 2 parámetros.
    5. Cuya familia de soluciones es de 3 parámetros.
  2. Da ejemplos de un sistema de ecuaciones lineales con 3 ecuaciones y 2 incógnitas con soluciones como se describe en cada una de las siguientes situaciones o explica porque no es posible:
    1. Sin solución.
    2. Con una única solución.
    3. Cuya familia de soluciones es de 1 parámetro.
  3. ¿Habrá cuatro ecuaciones lineales en dos incógnitas de manera que (1) el sistema formado por las cuatro ecuaciones no tenga solución, pero (2) los cuatro sistemas que se pueden formar escogiendo 3 de las 4 ecuaciones todos tienen solución?
  4. ¿Para qué valores del parámetro \(a\) tiene exactamente una solución el siguiente sistema? \[\begin{array}{rrrr} x_1 &+ (1-a)x_2 &+ 2ax_3 & = 2 \\ -2x_1 &&+ x_3 & = -1 \\ 5ax_1 & - x_2 &+ 2 x_3 & = 5a \end{array}\] ¿Cuántas soluciones tiene cuando no tiene exactamente una?

Matrices escalonadas

  1. Escribe todas las posibles formas de matrices escalonadas y reducidas de \(3 \times 4\) (o sea, de 3 renglones y 4 columnas). en cada caso pon los 0 y 1 y usa un asterisco para lugares donde puede ir cualquier número.
  2. ¿Será cierto que alguno de los renglones de la siguiente matriz es combinación lineal de los demás renglones? Usa la forma escalonada reducida para contestar la pregunta (además de escalonar la matriz necesitas explicar porque esa forma escalonada implica la respuesta que das a la pregunta). \[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 4 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
  3. Sea \(A\) una matriz con renglones \(R_1, \ldots, R_m\). Si formamos una matriz \(B\) de \(m+1\) renglones, cuyos primeros \(m\) renglones son los de \(A\) y la forma escalonada reducida de \(B\) tiene un renglón de puros ceros, ¿será cierto que el último renglón de \(B\) es una combinación lineal de los renglones de \(A\)?
  4. Demuestra que la operación elemental de renglón \(R_i \leftrightarrow R_j\) que intercambia dos renglones es innecesaria: muestra que se pueden intercambiar los renglones \(R_i\) y \(R_j\) haciendo tres operaciones del tipo \(R_k \leftarrow R_k + \lambda R_l\).

Omar Antolín Camarena