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Espacios vectoriales, generadores e independencia lineal

Índice

Fecha de entrega: jueves 19 de septiembre

Si necesitan un repaso1 sobre congruencias y los campos \(\mathbb{Z}/p\), les aconsejo que hagan esta lista de ejercicios (que no son para entregar).

Nota: Los problemas marcados con ⋄ son opcionales.

¿Espacios vectorial o no?

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el campo \(K\) indicado?

  1. \(K = \mathbb{R}\). \(V = \mathbb{R}^2\) con las operaciones:
    • \((a_1,a_2) + (b_1,b_2) = (a_1+b_1,a_2 b_2)\)
    • \(\lambda (a_1,a_2) = (\lambda a_1, a_2)\)
  2. \(K = \mathbb{R}\). \(V = \mathbb{C}^n\) con las operaciones usuales de suma y multiplicación coordenada a coordenada.
  3. \(K = \mathbb{C}\). \(V = \mathbb{R}^n\) con las operaciones usuales de suma y multiplicación coordenada a coordenada.
  4. \(K = \mathbb{R}\), \(V = \mathbb{R}\) con las operaciones \(x +_V y := x+y+1\), \(\lambda \cdot_V x = \lambda x + \lambda - 1\).
  5. ⋄ \(K = \mathbb{Z}/2\). Sea \(X\) un conjunto y tomamos \(V = \mathcal{P}(X)\) el conjunto de todos los subconjuntos de \(X\). La suma en \(V\) está dada por la diferencia simétrica. Como los únicos escalares son 0 y 1, la multiplicación por un escalar es fácil de definir: \(0S = \emptyset\), \(1S=S\).

¿Subespacio o no?

En cada caso dí sí el subconjunto \(U\) indicado es subespacio vectorial del espacio \(V\) (que es un espacio vectorial sobre \(K\)).

  1. \(K=\mathbb{R}\), \(V = \mathbb{R}^3\), \(U = \{(x,y,z) \in V : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}\)
  2. \(K=\mathbb{R}\), \(V = \mathbb{R}^3\), \(U = \{(x,y,z) \in V : 2x + y - 7z = 1\}\)
  3. \(K = \mathbb{R}\), \(V\) el espacio de polinomios de grado a lo más \(n\), \(U = \{ f(x) \in V : f(x)\) tiene al menos una raíz racional \(\}\).
  4. \(K = \mathbb{R}\), \(V\) el espacio de funciones continuas de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), \(U\) el espacio de funciones tales \(f\) que \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\).

Independencia lineal, conjuntos generadores y bases

  1. Prueba que el conjunto \(\{(1,2,1), (2,-1,1)\} \subseteq \mathbb{R}^3\) es linealmente independendiente. ¿Cuáles de los siguientes vectores se le pueden agregar a ese conjunto de modo que siga siendo linealmente independiente: \((0,5,1), (6,1,3), (7,4,5)\)?
  2. Prueba que si consideramos a \(\mathbb{R}\) como espacio vectorial sobre \(\mathbb{Q}\), el conjunto \(\{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\}\) es linealmente independiente. (Puedes usar que si \(n\) es un entero positivo, entonces \(\sqrt{n} \in \mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\)).
  3. Prueba que \(\{f_0(x), f_1(x), \ldots, f_n(x)\}\) es una base del espacio de polinomios de grado a lo más \(n\), suponiendo \(f_i(x)\) es de grado \(i\).
  4. Sea \(\{a_0, a_1, \ldots, a_n\}\) un conjunto de \(n+1\) números reales distintos y sean \(f_0(x), f_1(x), \ldots, f_n(x)\) polinomios tales que \(f_i(a_j) = 0\) siempre que \(i \neq j\). Prueba que \(\{f_0(x), f_1(x), \ldots, f_n(x)\}\) es un conjunto linealmente independiente.
  5. ¿Habrá un ejemplo de un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) y 8 vectores en él tales que cualesquiera 4 de ellos generen un subespacio de dimensión 3?
  6. ⋄ Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{Z}/2\). Prueba que no existen 8 vectores en él tales que cualesquiera 4 de ellos generen un subespacio de dimensión 3.

1

Por ejemplo, si nunca lo han visto antes. :P

Omar Antolín Camarena