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Transformaciones lineales y matrices

Fecha de entrega: Viernes 25 de octubre

  1. Supón que \(T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4\) es una transformación lineal. Prueba que el rango de \(T\) es a lo más 2. Da un ejemplo de una \(T\) para cada rango entre 0 y 2.
  2. Sea \(T : U \to V\) una transformación lineal inyectiva. Prueba que \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) es un subconjunto linealmente independiente de \(U\), si y solo si \(\{T(u_1), \ldots, T(u_n)\}\) es linealmente independiente.
  3. Considera el espacio vectorial \(M_{3 \times 3}(\mathbb{R})\) de matrices de \(3 \times 3\). Sea \(T : M_{3\times 3}(\mathbb{R}) \to M_{3\times 3}(\mathbb{R})\) la transformación lineal definida como \(T(A) = A + A^\intercal\). Encuentra una base para el núcleo y para la imagen de \(T\).
  4. Encuentra una transformación lineal \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) cuyo núcleo esté generado por los vectores \[\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}. \]
  5. Considera la transformación lineal \(T : P_2(\mathbb{R}) \to P_3(\mathbb{R})\) dada por \(T(f(x)) = xf(x)+f'(x)\), donde \(P_n(\mathbb{R})\) denota el espacio de polinomios de grado a lo más \(n\) con coeficientes en \(\mathbb{R}\). Encuentra una base para la imagen, y encuentra un elemento de \(P_3(\mathbb{R})\) que no esté en la imagen.
  6. ¿Existirá una transformación lineal \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) que cumpla las siguientes condiciones? \[T\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, T\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
  7. Sea \(P(\mathbb{R})\) el espacio de todos los polinomios con coeficientes reales, de cualquier grado. (Recuerda que \(P(\mathbb{R})\) es dimensión infinita). Definimos dos transformaciones lineales \(P(\mathbb{R}) \to P(\mathbb{R})\): \[\begin{aligned} I(f(x)) & = \int_0^x f(t) \; dt \\ D(f(x)) & = f'(x) \end{aligned} \] Prueba que \(I\) es inyectiva pero no es suprayectiva; y que \(D\) es suprayectiva pero no inyectiva. También calcula las composiciones \(I \circ D\) y \(D \circ I\).
  8. Sea \(T : U \to V\) una transformación lineal. Prueba que si \(\dim U > \dim V\) entonces \(T\) no puede ser suprayectiva, y que si \(\dim U < \dim V\) entonces \(T\) no puede ser inyectiva.
  9. Sea \(T : M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R})\) dada por \(T \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = b x^2 + 2d x + a+b\). Calcula la matriz \([T]_{\beta}^{\gamma}\) para las bases: \[\begin{aligned} \beta & = \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \\ \gamma & = \{1, 1+x, 1+x+x^2\}. \end{aligned} \]
  10. Sea \(\beta = \{v_1, \ldots, v_5\}\) una base de un espacio vectorial \(V\) (de dimensión 5). Hay una única transformación lineal \(T : V \to V\) tal que \(T(v_i) = v_i + v_{i-1}\) para \(1 \le i \le 5\) —donde definimos \(v_0 = 0\). Encuentra la matriz de \(T\) en la base \(\beta\) (o sea, \([T]_{\beta}^{\beta}\)).

Omar Antolín Camarena