La historia de Grunwald y Wang

El texto a continuación es una traducción de la sección 5.3 de The Brauer-Hasse-Noether theorem in historical perspective de Peter Roquette (Roquette 2005).

Grunwald fue estudiante de doctorado bajo la supervisión de Hasse en la Universidad de Halle, y siguió a Hasse a Marburg en 1930. La cita a «Grunwald [1]» en los artículos de Hasse se refiere a la tesis de doctorado de Grunwald (Grunwald 1933a) que apareció en Mathematische Annalen. El tema de la tesis pertenece a los fundamentos de la teoría algebraica de números; desde el punto de vista moderno se puede considerar como un primer intento de entender el papel del Größencharaktere de Hecke en la teoría de campos de clases. La tesis de Grunwald no contiene el Teorema de Existencia, pero Hasse descubrió que los métodos de Grunwald se podían usar para obtener una prueba del teorema. De la correspondencia entre Grunwald y Hasse (que ha sido conservada) podemos deducir que Hasse le propuso a Grunwald que extrajera de su tesis una prueba del Teorema de Existencia y que lo publicara en un artículo separado.

Y eso hizo Grunwald. La cita a «Grunwald [2]» en el artículo (Hasse 1933) se refiere a dicho artículo de Grunwald, que en aquel momento Hasse describió como «por aparecer» y que fue publicado en 1933 en la Revista de Crelle (Grunwald 1933b). Ahí Grunwald probó un teorema de existencia general que se conoció como el «Teorema de Grunwald». Este teorema es mucho más fuerte que el Teorema de Existencia de Hasse:

Teorema de Grunwald. Sea \(K\) un campo de números algebraicos y \(S\) un conjunto finito de primos de \(K\). Supongamos que para cada \(\mathfrak{p} \in S\) es dada una extensión cíclica de campos \(K_\mathfrak{p} < L_\mathfrak{p}\). Sea \(n \in \mathbb{N}\) un múltiplo común de todos los grados \([L_\mathfrak{p} : K_\mathfrak{p}]\) de dichas extensiones. Entonces existe una extensión cíclica de campos \(K < L\) de grado \(n\) tal que para cada \(\mathfrak{p} \in S\) su completación coincide con el campo \(L_\mathfrak{p}\) dado.

El lector deberá comparar esa afirmación con la versión del Teorema de Existencia que requería la obra de Hasse:

Teorema de Existencia. Sea \(K\) un campo de números algebraicos y \(S\) un conjunto finito de primos de \(K\). Supongamos que para cada \(\mathfrak{p} \in S\) es dado un número natural \(M_\mathfrak{p}\). Sea \(n \in \mathbb{N}\) un múltiplo común de todos los \(m_\mathfrak{p}\). Entonces existe una extensión cíclica de campos \(K < L\) de grado \(n\) tal que para cada \(\mathfrak{p} \in S\) el grado local \([L_\mathfrak{p} : K_\mathfrak{p}]\) es múltiplo de \(m_\mathfrak{p}\).

Mientras que Hasse solo necesitaba el hecho de que los grados locales \([L_\mathfrak{p} : K_\mathfrak{p}]\) eran múltiplos de números \(m_\mathfrak{p}\) dados, el teorema de Grunwald afirma que incluso los campos locales \(L_\mathfrak{p}\) mismos pueden ser prescritos como extensiones cíclicas de grado \(m_\mathfrak{p}\) de \(K_\mathfrak{p}\) (para el conjunto finito de primos \(\mathfrak{p} \in S\)). Era un teorema bello y fuerte que claramente resolvía el asunto.

La demostración del teorema de Grunwald usa la teoría de campos de clases y fue considerada difícil. En 1942 Whaples dió una prueba simplificada (Whaples 1942); también usaba la teoría de campos de clases, pero no involucraba teoría analítica de números, cosa que había sido necesaria para Grunwald.

En 1948 Artin, que estaba en la Universidad de Princeton, dirigió un seminario sobre teoría de campos de clases. Una de las pláticas del seminario estaba dedicada a la nueva prueba dada por Whaples del teorema de Grunwald. Esto fue lo que sucedió en el seminario, narrado por uno de los participantes, John Tate:

Yo acababa de cambiarme de física a matemáticas e intenté seguirlo [el seminario] lo mejor que puede. Wang también asistía al seminario. En la primavera de 1948, Bill Mills, uno de los estudiantes que Artin había llevado con si desde Indiana, habló sobre el «Teorema de Grunwald» en el seminario. Unos días después estaba yo en la oficina de Artin cuando apareció Wang. Wang dijo que tenía un contraejemplo a uno de los lemas que se habían usado en la prueba. Una hora o dos después produjo un contraejemplo al teorema mismo… Claro que [Artin] estaba asombrado, así como todos nosotros los estudiantes, de que un teorema famoso con dos demostraciones publicadas, una de las cuales habíamos escuchado todos en el seminario sin darnos cuenta de nada, pudiera estar mal. ¡Pero fue buena lección!

El error no estaba contenido en el artículo de Grunwald (Grunwald 1933b) en si, sino en su tesis (Grunwald 1933a), de dónde Grunwald citó un lema. Ese lema hace referencia a un número primo \(p\), pero el autor no notó que el primo \(p=2\) requería de cuidado especial comparado con los primos \(p>2\).

El hecho de que hubiera un error en el teorema de Grunwald (así como en la demostración de Whaples) causo una gran conmoción entre la gente involucrada. ¿Querría decir eso que el Teorema Principal de Brauer-Hasse-Noether estaba mal también?

Afortunadamente, la situación no era tan seria. En la «mayor parte» de los casos, el teorema de Grunwald es cierto, y sólo pueden ocurrir excepciones cuando \(n\) es múltiplo de 8. Además, el Teorema de Existencia de Hasse es mucho más débil que el teorema de Grunwald y resultó que este teorema más débil es válido en todos los casos, incluso aquellos en los que falla el teorema completo de Grunwald. Esto fue establecido por Hasse en (Hasse 1950) inmediatamente después de que el contraejemplo de Wang se dió a conocer. Más aún, Hasse examinó con cuidado la situación y obtuvo una versión correcta del teorema de Grunwald, explícitamente analizando las excepciones. Independientemente de Hasse, Wang también dio una formulación correcta del resultado en su tesis doctoral (Wang 1950). Desde entonces, el teorema corregido se conoce como el «Teorema de Grunwald-Wang».

Y así se salvó el Teorema Principal de Brauer-Hasse-Noether.