La definición de espacio topológico

Esto es un intento de motivar la definición de espacio topológico, dirigido a estudiantes que ya conocen los espacios métricos.

Recordemos la definición \(\epsilon-\delta\) de continuidad para funciones \(f : X \to Y\) entre espacios métricos:

• \(f : X \to Y\) es continua en \(x \in X\) si para toda \(\epsilon>0\) existe una \(\delta>0\) tal que siempre que \(d_{X}(x,x') < \delta\) se tiene que \(d_{Y}(f(x),f(x')) < \epsilon\).

Esto es, si tenemos una meta de cercanía en mente para \(f(x)\) y \(f(x')\) (es decir tenemos una ε en mente), siempre podemos lograr esa meta pidiendo que \(x'\) esté suficientemente cerca de \(x\) (qué tan cerca necesita estar nos lo dice la δ). O, parafraseando más burdamente aún: \(f\) es continua si manda puntos cercanos en puntos cercanos.

Para propósitos de la definición de continuidad, los valores numéricos de las distancias son irrelevantes. Lo que importa es, aproximadamente, cuales distancias son pequeñas y cuales no. Podríamos intentar generalizar la definición de espacio métrico de modo que no mencione números, solo una idea de «cercanía», pero que aún sea posible definir la noción de función continua.

Esta generalización tendría por lo menos dos posibles ventajas:

• La experiencia nos indica que es frecuente que no nos interesen las distancias precisas entre puntos de un espacio métrico, que nos interesen solo cuáles funciones son continuas. Muchas métricas distintas resultan equivalentes en el sentido de que producen las mismas funciones continuas. Si logramos la generalización planteada, idealmente veríamos que todos las métricas equivalentes en un conjunto dado producen el mismo «espacio métrico generalizado», y, si solo nos interesa cuales funciones son continuas, quizá podríamos trabajar más limpiamente con él espacio métrico generalizado directamente. Podríamos pensar que los espacios métricos son como espacios vectoriales con una base elegida, y que los espacios métricos generalizados que queremos definir serían como un espacio vectorial (sin elección de base). La experiencia indica que el álgebra lineal es frecuentemente más clara y libre de distracciones cuando se hace sin elegir bases hasta que sea necesario.
• La ventaja anterior solo habla sobre ventajas para la teoría de espacios métricos, pero también podría ser que nuestra generalización nos lleve más allá de los espacios métricos: es posible que existan nuevos tipos de espacios con nociones cualitativas de cercanía que no pueden hacerse cuantitativas. Si resulta que sí hay ejemplos interesantes de tales «espacios métricos generalizados» que no son métricos, podría valer la pena estudiar la generalización por si misma.

Un adelanto: en efecto eso es lo que va a suceder, sí hay una generalización muy útil de espacios métricos, llamados espacios topológicos, que tienen solo una noción cualitativa, no cuantitativa, de cercanía, y que son el lugar natural para dar una definición de función continua. Ahora vamos a intentar llegar de una manera motivada a la definición de espacio topológico.

Un primer obstáculo que enfrentamos para definir nuestra generalización es que ninguna distancia por si misma es pequeña, depende de con qué se le compare. ¿Puntos con distancia menor que \(1/100\) son cercanos? Pues depende, en el intervalo \([0,1/100]\) eso es de hecho lo más lejos que puede estar un punto de otro, por ejemplo. Como la definición de continuidad habla de distancias arbitrariamente pequeñas es tentador decir que realmente «quiere» hablar de distancia 0: algo así como «\(f\) es continua en \(x\) si cada vez que \(d_{X}(x,x')=0\) tenemos que \(d_{Y}(f(x), f(x'))=0\) también».

Desde luego esto no tiene sentido: en un espacio métrico dos puntos solo están a distancia 0 si son el mismo punto (y esa supuesta definición de continuidad la cumple cualquier función). Hay una pista en los cuantificadores de la definición: para definir continuidad en \(x\) se habla de todos los puntos \(x'\) suficientemente cercanos. Podríamos intentar trabajar con el conjunto de los \(x'\) cercanos, en lugar de hablar de puntos individuales. Esto tiene la ventaja de que sí hay casos interesantes en los que \(x\) está a distancia 0 de un conjunto de puntos.

Recordemos esa definición: decimos que \(x\) está a distancia 0 de un subconjunto \(X' \subseteq X\) si para toda \(\epsilon>0\), existe un punto \(x' \in X'\) tal que \(d_{X}(x,x') < \epsilon\). Esta definición tiene el mismo patrón de «para todo \(\epsilon>0\)» y «\(d_{X}(x,x')<\epsilon\)» que vemos en la definición de continuidad y lo podemos usar para reescribir la definición de continuidad como sigue:

• \(f : X \to Y\) es continua en \(x\) si para todo \(X' \subseteq X\) tal que \(d_{X}(x,X')=0\) tenemos que \(d_Y(f(x), f(X'))=0\).

Ya logramos reescribir la definición de continuidad de manera que sea simplemente preservar una noción de cercanía, solo que la noción de cercanía no es entre pares de puntos sino entre un punto y un conjunto de puntos.

La generalización que queremos de espacio métrico entonces tendrá la siguiente forma:

• Un espacio topológico es un conjunto \(X\) junto con una relación de cercanía \(C \subseteq X \times \mathcal{P}(X)\) que cumple las siguientes condiciones: <inserte condiciones aquí>. Cuando \((x, X') \in C\) diremos que «\(x\) está cerca de \(X'\)».

Y la correspondiente definición de continua será simplemente una función que preserve la relación de cercanía, es decir una función \(f\) tal que si \(x\) está cerca de \(X'\) entonces \(f(x)\) está cerca de \(f(X')\).

Ahora solo falta ver que condiciones debemos pedirle a la relación de cercanía. Esto siempre es un asunto delicado; las condiciones deben cumplir varios requisitos:

• Queremos que la relación \(d_X(x,X')=0\) en un espacio métrico sí cumpla las condiciones.

• Queremos que las condiciones nos permitan demostrar para espacios topológicos algunas de las propiedades importantes de funciones continuas a las que estamos acostumbrados.

  ¡Fíjense que algunas ya las podemos probar aunque no sabemos aún qué condiciones queremos! Por ejemplo la función identidad es continua, y las composición de funciones continuas es continua. Por otra parte, todavía no podemos demostrar que una función constante es continua.

• Queremos que haya ejemplos interesantes a parte de los que vienen de espacios métricos. Esto quizá es lo más difícil de juzgar.

Éstas son las propiedades que vamos a pedir que cumpla la noción de cercanía:

1. Ningún punto está cerca del vacío.
2. Si \(x \in A\) entonces \(x\) está cerca de \(A\).
3. Si \(x\) está cerca de \(A\) y cada punto de \(A\) está cerca de \(B\), entonces \(x\) está cerca de \(B\).
4. Un punto \(x\) está cerca de \(A \cup B\) si y solo si está cerca de \(A\) o de \(B\).

Es fácil verificar que se cumplen en espacios métricos. Y espero que el lector esté de acuerdo que suenan como propiedades muy razonables para la idea intuitiva de cercanía. Pero, ¿por qué exactamente esas? Me temo que la respuesta es más o menos la misma siempre que uno se pregunta algo así: porque la experiencia indica que éstas condiciones (1) permiten demostrar resultados interesantes sobre espacios topológicos, y que (2) admiten ejemplos interesantes.

Siempre es bueno considerar los ejemplos extremos, en este caso, ¿qué pasa si decidimos que ningún punto está cerca de ningún conjunto, o que todos los puntos están cerca de todos los conjuntos?

Pues no puede ser literalmente que ningún punto esté cerca de ningún conjunto: la condición 2 dice que todo punto por lo menos está cerca de cualquier conjunto al que pertenece. Pero esa es la única restricción: se verifica fácilmente que en cualquier conjunto \(X\) la relación «\(x\) está cerca de \(A\) \(\iff\) \(x \in A\)» define un espacio topológico, que llamaremos el espacio discreto con conjunto de puntos \(X\). Éstos ejemplos sí vienen de un espacio métrico: para la métrica dada por \(d_{X}(x,x)=0\) y \(d_{X}(x,y)=1\) para \(x \neq y\), tenemos que \(d_{X}(x,A)=0 \iff x \in A\).

El otro extremo funciona sin ajustes: si en \(X\) declaramos que cualquier punto está cerca de cualquier conjunto obtenemos también un espacio topológico que llamaremos indiscreto. Éstos ejemplos no vienen de espacios métricos cuando \(X\) tiene más de un punto. (¿Por qué no?)

Como un último ejemplo pensemos en \(X=\{0,1\}\) y veamos cuales son todas las posibles relaciones de cercanía ahí. Recordando que ningún punto está cerca del vacío y que todo punto está cerca de cualquier conjunto al que pertenece, solo quedan por decidir dos cercanías:

• ¿Está cerca \(0\) de \(\{1\}\)?
• ¿Está cerca \(1\) de \(\{0\}\)?

Si respondemos que no a ambas preguntas, tenemos el espacio discreto. Si respondemos que sí a ambas preguntas, tenemos el espacio indiscreto. El caso que falta es contestar que sí a una y que no a la otra. Por la simetría está claro que no importa a cual contestamos que sí. El espacio topológico así obtenido se llama el espacio de Sierpinski y tampoco viene de un espacio métrico (en un espacio métrico, \(x\) nunca está cerca de \(\{x'\}\) si \(x \neq x'\)).

Finalmente, hay que decir que esta no es la definición más popular de espacio topológico, de hecho ni llega al top 3 de las definiciones más populares. Esas resultan de enfocarse en distintos conceptos que podemos derivar de la relación de cercanía:

• Decimos que \(A \subseteq X\) es cerrrado si siempre que \(x\) está cerca de \(A\) se tiene que \(x \in A\).
• Decimos que \(U \subseteq X\) es abierto si \(X \setminus A\) es cerrado.
• Dado \(A \subset X\) definimos su clausura como \(\bar{A} := \{x \in X : x\) está cerca de \(A\}\).

Es fácil traducir las condiciones que definen una relación de cercanía a condiciones sobre cerrados, abiertos u operadores de clausura y cualquiera de esas definiciones de espacio topológico es más popular que la que usa relaciones de cercanía.

La única referencia que encontrado con esta definición de espacio topológico es un artículo de David B. Gauld de 1977, Nearness - A better approach to topology.