π²/6 > φ

La desigualdad del título es obvia pues el lado izquierdo es alrededor de 1.64 y el lado derecho es cerca de 1.618, pero aquí va una prueba simpática del hecho que ya no recuerdo dónde aprendí¹:

Sean \(u := (1,1/2,1/3,1/4,\ldots)\) y \(v:=(1/2,1/3,1/4,\ldots)\). Ambos vectores pertenecen a \(\ell^2\), el espacio de Hilbert de sucesiones de cuadrado sumables. Veamos que nos dice la desigualdad de Cauchy-Schwarz, \(\Vert u\Vert \Vert v\Vert > u \cdot v\), concretamente. Es bien sabido que \(\Vert u\Vert ^2 = \frac{\pi^2}{6}\) y por lo tanto, \(\Vert v\Vert ^2 = \frac{\pi^2}{6} - 1\). Finalmente, \[u \cdot v = \sum_{n>0} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n>0} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1.\]

Concluímos que \(x = \frac{\pi^2}{6}\) satisface la desigualdad \(x(x-1) > 1\), y como \(\frac{\pi^2}{6}>0\), esto implica que \(x\) es mayor que la raíz positiva de \(x^2-x-1\), es decir, que \(\frac{\pi^2}{6} > \phi\).