HOME

Extensiones de Kan

Ejemplos generales de extensiones de Kan izquierdas

Para cada uno de los siguientes functores \(K : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), describe la extensión de Kan izquierda \(\mathrm{Lan}_K F\) para un funtor \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) arbitrario (a una categoría cocompleta \(\mathcal{C}\)). También procura dar una descripción intuitiva de que significa el funtor arbitrario \(F\), por ejemplo, si \(\mathcal{A} = B\mathbb{N}\) un funtor \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}\) es un endomorfismo en \(\mathcal{C}\).

  1. \(\mathcal{A} = \ast \sqcup \ast = \{0, 1\}\), la categoría con dos objetos y sin morfismos aparte de las identidades.

    \(\mathcal{B} = \mathbb{2}\), la categoría con dos objetos y un morfismo entre ellos, \(0 \to 1\).

    \(K\) la inclusión obvia: \(0 \mapsto 0\), \(1 \mapsto 1\).

  2. \(\mathcal{A} = \{1 \leftarrow 0 \to 2\}\), la forma de diagrama para los coproductos amalgamados.

    \(\mathcal{B} = \mathbb{3} = \{ 0 < 1 < 2\}\), el ordinal 3 pensado como categoría.

    \(K\) la inclusión obvia \(i \mapsto i\).

  3. \(\mathcal{A} = \mathbb{2}\), \(\mathcal{B} = B\mathbb{N}\), \(K\) el funtor que elige el morfismo \(1 \in \mathbb{N}\).
  4. \(\mathcal{A} = \mathbb{2}\). \(\mathcal{B} = \mathbb{I}\), la categoría con dos objetos 0 y 1, y un único isomorfismo entre ellos en cada dirección (esos dos isomorfos son inversos uno del otro). \(K\) la inclusión obvia.
  5. \(\mathcal{A} = \mathbb{2} \sqcup_{\{0,1\}} \mathbb{2}\), la categoría con objetos 0 y 1 y dos flechas paralelas entre ellos.

    \(\mathcal{B} = \mathbb{2}\) y \(K\) el funtor que identifica las dos flechas.

Extensiones de Kan y la categoría de elementos

NOTA: Corregí la varianza de \(P\) y la notación en la conclusión.

Sea \(P : \mathcal{A} \to \mathsf{Set}\) un funtor, y \(\pi : \int_{\mathcal{A}} P \to \mathcal{A}\) la proyección desde la categoría de elementos de \(P\)1. Sea \(F : \int_{\mathcal{A}} P \to \mathcal{C}\) un funtor arbitrario a una categoría cocompleta. Demuestra que \(\mathrm{Lan}_\pi F(A) = \coprod_{x \in P(A)} F((x,A))\).

Invirtiendo elementos actuando sobre módulos

Vimos parte de este ejemplo en clase. Sea \(R\) un anillo conmutativo, \(M\) un \(R\)-módulo y \(a \in R\). Sea \(i : B\mathbb{N} \to B\mathbb{Z}\) la inclusión y \(F : B\mathbb{N} \to \mathsf{Mod}_R\) el funtor que corresponde al endormorfismo \(\bar{a} : M \to M\), \(x \mapsto ax\).

  1. Dijimos que \[\mathrm{Lan}_i F(\ast) = \mathrm{colim}(M \xrightarrow{\bar{a}} M \xrightarrow{\bar{a}} \cdots) \cong M[a^{-1}].\] ¿Qué sucede con los morfismos, qué es \(\mathrm{Lan}_i F(1 \in Z)\)?
  2. Como ejemplo concreto, sea \(M = R[x]\) y \(a=x\). Describe \(\mathrm{Lan}_i F\) y también \(\mathrm{Ran}_i F\).

1

Recuerden que hay dos versiones de la categoría de elementos. Aquí queremos la versión donde un morfismo \((x,A) \to (y,B)\) (con \(x \in P(A)\), \(y \in P(B)\)) es un morfismo \(f : A \to B\) tal que \(P(f)(x) = y\). No hay riesgo de confusión pues la otra versión no tiene una proyección hacía \(\mathcal{A}\) sino hacia \(\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\).

Omar Antolín Camarena