Categorías enriquecidas, 2-categorías, cuasicategorías
Categorías enriquecidas
- Los reales no negativos extendidos, \(\bar{\mathbb{R}}_{\ge 0} :=
\mathbb{R}_{\ge 0} \cup \{+\infty\}\), con el orden
opuesto al usual es una categoría monoidal simétrica donde el
producto tensorial es la suma de reales.
- ¿A qué propiedad de la suma corresponde su funtorialidad como producto tensorial?
- ¿Es cerrada como categoría monoidal simétrica?
- ¿A qué objeto matemático clásico y famoso se parecen las categorías enriquecidas en \(\bar{\mathbb{R}}_{\ge 0}\)? ¿Cuáles son las diferencias? ¿Cuál es la categoría subyacente a una de estas categorías enriquecidas?
2-categorías
Sea \(\mathcal{C}\) una 2-categoría. Una adjunción en \(\mathcal{C}\) consta de objetos \(A, B\), morfismos \(f : A \to B\), \(g : B \to A\) y 2-morfismos \(\eta : 1_A \to gf\), \(\epsilon : fg \to 1_B\) que se satisfacen las identidades triangulares: \((\epsilon f) \circ (f \eta) = 1_f\) y \((g \epsilon) \circ (\eta g) = 1_g\).
Parte de este ejercicio es entender la notación.
- ¿Qué significan \(\epsilon f\), \(f \eta\), etc.? Descríbelos en términos de las categorías-hom \(\mathcal{C}(A,B)\), \(\mathcal{C}(B,A)\), etc. y de los functores de composición \(\mathcal{C}(A,B) \times \mathcal{C}(B,A) \to \mathcal{C}(B,B)\), etc. ¿Qué dicen esos términos las identidades triangulares?
- Dibuja las identidades triangular como diagramas de pegado.
Ahora sí, algo para demostrar:
- Una equivalencia en una 2-categoría se puede definir parecido a una adjunción: dejamos de pedir que se cumplan las identidades triangulares y en su lugar pedimos que \(\eta\) y \(\epsilon\) sean isomorfismos, es decir 2-morfismos invertibles. Demuestra que si \((A, B, f, g, \eta, \epsilon)\) forman una equivalencia, es posible cambiar \(\epsilon\) por un \(\epsilon'\) de manera que \((A, B, f, g, \eta, \epsilon')\) sea simultáneamente una adjunción y una equivalencia.
Cuasicategorías
- Demuestra que las dos definiciones de homotopía para 1-simplejos de
una cuasicategoría \(X\) producen la misma relación de
equivalencia. Las dos definiciones son: dados dos 1-simplejos \(f,
g : x \to y\),
- \(f \sim_L g\) si existe un \(\lambda \in X_2\) tal que \(d_0 \lambda = f\), \(d_1 \lambda = g\) y \(d_2 \lambda = s_0 x\), y
- \(f \sim_R g\) si existe un \(\rho \in X_2\) tal que \(d_0 \rho = s_0 y\), \(d_1 \rho = g\) y \(d_2 \rho = f\).
- Prueba el nervio del isomorfismo ambulante \(\mathbb{I}\) tiene
exactamente dos simplejos no degenerados en cada dimensión. Prueba
que la inclusión \(\mathbb{2} \to \mathbb{I}\) se puede obtener
como sigue: hay una sucesión de conjuntos simpliciales \(X_2 \to
X_3 \to X_4 \to \cdots\) donde
- \(X_2 = \Delta^1\), el nervio de \(\mathbb{2}\),
- \(X_{n+1}\) se obtiene como pushout: \[\begin{CD} \Lambda^0[n] @>>> X_n \\ @VVV @VVV \\ \Delta[n] @>>> X_{n+1} \end{CD}\] para algún morfismo \(\Lambda^0[n] \to X_n\), y
- El colímite de los \(X_n\) es el nervio de \(\mathbb{I}\) y el morfismo canónico de \(X_2\) al colímite es la inclusión \(\mathbb{2} \to \mathbb{I}\).