Teoría de ∞-categorías en ∞-cosmos

Objetos iniciales y finales

Prueba que en un ∞-cosmos cartesianamente cerrado (o sea, con hom interno \(A^B\)), un objeto inicial de una ∞-categoría \(A\) es el límite del functor identidad \(A \to A\).
Prueba que cualesquiera dos objetos iniciales de una ∞-categoría \(A\) son isomorfos en su categoría homotópica \(hA\).
Prueba que si una ∞-categoría \(A\) tiene un objeto inicial \(\emptyset\), un objeto final \(1\) y tiene un morfismo \(1 \to \emptyset\), entonces es una ∞-categoría punteada.

Dada una adjunción en un ∞-cosmos, digamos \(f : A \to B\), \(g : B\to A\), \(f \dashv g\), y dadas equivalencias \(A \simeq A'\) y \(B \simeq B'\), construye una adjunción entre \(A'\) y \(B'\).
Ses \(J\) es un conjunto simplicial, y sean \(A\) y \(B\) ∞-categorías en un ∞-cosmos \(\mathcal{K}\) tales que tanto \(A\) como \(B\) admiten colímites para todos los diagramas de forma \(J\). Supón que \(f : B \to A\) es un adjunto izquierdo. Prueba que \(f\) preserva \(J\)-colímites en el sentido de que el siguiente cuadrado conmuta salvo isomorfismo:

\[\begin{CD} B^J @>{f^J}>> A^J \\ @V{\colim}VV @V{\colim}VV \\ B @>>> A \end{CD} \]

Sean \(f : A \to B\) y \(g : B \to C\) funtores entre categorías ordinarias tales que \(f\) es suprayectivo en objetos y en morfismos, y \(g \circ f\) es sofocante. Prueba que \(g\) es sofocante.

(a) Describe el join gordo de \(\Delta^0 \diamond \Delta^1\), en particular prueba que no es isomorfo a \(\Delta^2\).

(b) Cálcula \(\Delta^m \diamond \Delta^n\) y define una sección \(\Delta^{m+n} \cong \Delta^{m} \ast \Delta^{n} \to \Delta^m \diamond \Delta^n\) del mapa canónico del join gordo al join estándar.