Tarea 1: Álgebra Homológica

Sea \(A\) un grupo abeliano con una filtración \(A = F^n A \supset F^{n-1} A \supset \cdots \supset F_0 A = 0\). Recuerda que el grupo graduado asociado está dado por \(\gr_k A := F^k A/F^{k-1} A\).

1. Encuentra todas las posiblidades para \(A\) si tres de los \(\gr_k A\) son \(\Z, \Z/2, \Z/4\) en algún orden y los demás \(\gr_k A\) son cero. Ahora encuentra las posiblidades si los \(\gr_k A\) distintos de cero son \(\Z/2, \Z/3, \Z/6\).

2. ¿Para cuáles de las siguientes clases \(\mathcal{C}\) de grupos abelianos es cierto que si todos los \(\gr_k A \in \mathcal{C}\) entonces \(A \in \mathcal{C}\)? ¿Para cuáles es cierto el recíproco?

   La de clase de los grupos abelianos …

   • cíclicos,
   • finitos,
   • finitamente generados,
   • libres,
   • libres de torsión,
   • de torsión,
   • divisibles,
   • aniquilados por alguna potencia de un primo,
   • aniquilados por un primo.

1. Sea \(E^r_{p,q} \Rightarrow H_{p+q}\) una sucesión espectral (homológica, es decir con \(d^r : E^r_{p,q} \to E^r_{p-r,q+r-1} \)) de primer cuadrante (o sea, \(E^r_{p,q} = 0\) si \(p<0\) o \(q<0\)). Prueba que existe una sucesión exacta de la forma \[H_2 \to E^2_{2,0} \to E^2_{0,1} \to H_1 \to E^2_{1,0} \to 0.\]

En estos problemas, a menos que se especifique lo contrario, \(R\) es un anillo conmutativo y \(M\), \(N\) denotan \(R\)-módulos.

1. Prueba que las siguientes son equivalentes:
   • \(M\) es plano (o sea, \(M \otimes_R -\) es exacto).
   • \(\Tor^R_1(M,N) = 0\) para todo \(R\)-módulo \(N\).
   • \(\Tor^R_i(M,N) = 0\) para toda \(i \ge 1\) y todo \(R\)-módulo \(N\).
2. Prueba que \(\Tor^R_1(R/(r), M) = \{x \in M : rx=0\}\).
3. Prueba que \(\Tor^R_i(M,N) \cong \Tor^R_i(N,M)\).
4. Prueba que para \(R=\Z\), un \(R\)-módulo es plano si y solo si es un grupo abeliano libre de torsión.
5. Prueba que para \(R=\Z\), \(\Tor_i(M,N) = 0\) para cualquier \(i>1\).
6. Calcula \(\Tor^{\Z/k}_{i}(\Z/m,\Z/n)\).

Aquí también, \(R\) es un anillo conmutativo y \(M\), \(N\) denotan \(R\)-módulos.

1. Prueba que «\(\Ext_R(M,N)\) se puede calcular con una resolución proyectiva de \(M\) o una resolución inyectiva de \(N\)», es decir, que si \(P_\bullet \to M\) es una resolución proyectiva y \(N \to I_\bullet\) es una resolución inyectiva, entonces \[H_n(\Hom(P_\bullet, N)) \cong H_n(\Hom(M, I_\bullet)).\]
2. Prueba que para \(R=\Z\), \(\Ext^i(M,N)=0\) para cualquier \(i>1\).
3. Sean \(R=\Z/m\) y \(N = \Z/p\) con \(p|m\) (así \(N\) es un \(R\)-módulo). Muestra que \(N\) tiene una resolución inyectiva que consta de copias de \(R\) con homomorfismos dados alternadamente por multiplicar por \(p\) y por \(m/p\). Usando eso describe \(\Ext^n_R(M,N)\) en términos de \(\Hom(M,R)\). En particular, muestra que si \(p^2 | m\) entonces \(\Ext^n_{\Z/m}(\Z/p, \Z/p) \cong \Z/p\), ¡para toda \(n \ge 0\)!

4. Supón que \(A_{\bullet}\) es un complejo de \(R\)-módulos proyectivos con \(A_n = 0\) para \(n<0\). Prueba que existe una sucesión espectral convergente de la forma \[E_2^{p,q} = \Ext^p_R(H_q(A_{\bullet}, M)) \Rightarrow H^{p+q}(\Hom(A_{\bullet}, M)).\]

   En el caso en que \(R=\Z\), prueba que esto se simplifica a una sucesión exacta corta: \[0 \to \Ext(H_{n-1}(A_{\bullet}), M) \to H^n(\Hom(A_{\bullet}, M)) \to \Hom(H_n(A_{\bullet}, M)) \to 0.\]

1. Prueba que si \(C_{\bullet,\bullet}\) es un complejo doble acotado (o sea que en cada diagonal \(p+q=n\), solo un número finito de términos \(C_{p,q}\) son distintos de cero) con renglones exactos, entonces \(\Tot(C_{\bullet,\bullet})\) es un complejo acíclico. Da un ejemplo que muestre que la hipótesis de ser acotado es necesaria.
2. Prueba que si en un complejo doble acotado todos los renglones son exactos y todas las columnas salvo una son exactas, entonces la columna faltante es exacta también. Esto casi generaliza el «lema de 3 × 3», consulta un libro de texto de álgebra homológica para ver el enunciado preciso del lema y explica porque este resultado solo casi lo generaliza.
3. Prueba que si \(f : C_\bullet \to D_\bullet\) es un morfismo de complejos de cadena tal que los complejos \(\ker(f)\) y \(\coker(f)\) son acíclicos, entonces \(f\) es un cuasi-isomorfismo. ¿Es cierto el recíproco?
4. Supón que en el siguiente diagrama los renglones son exactos: \[\begin{CD} A @>>> B @>>> C @>>> D @>>> E \\ @V{a}VV @V{b}VV @V{c}VV @V{d}VV @V{e}VV \\ A' @>>> B' @>>> C' @>>> D' @>>> E' \\ \end{CD}.\]
   • Prueba que si \(b\) y \(d\) son isomorfismos, \(a\) es epimorfismo y \(e\) es monomorfismo, entonces \(c\) es isomorfismo.
   • ¿Qué se puede decir de \(c\) si quitamos la hipótesis de que \(a\) es epimorfismo?
5. Prueba que el funtor \(\Tot\) que va de la categoría de complejos dobles a la categoría de complejos es exacto. Prueba también que si hay una sucesión exacta corta de complejos dobles \[0 \to A_{\bullet,\bullet} \to B_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet,\bullet} \to 0\] y \(\Tot(C_{\bullet,\bullet})\) es acíclico, entonces \(\Tot(A_{\bullet,\bullet}) \to \Tot(B_{\bullet,\bullet})\) es un cuasi-isomorfismo.