Fibración de Hopf
Considera la siguiente función suave conocida como la fibración de Hopf: \(p : S^3 \to S^2\) dada por \(p(w,z) = (2 \mathrm{Re}(w \bar{z}), 2 \mathrm{Im}(w \bar{z}), |w|^2-|z|^2)\) donde estamos pensando a la esfera unitaria \(S^3 \subseteq \mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2\) como el conjunto \(\{(w,z) \in \mathbb{C}^2 : |w|^2+|z|^2=1\}\).
(a) Verifica que \(p(w,z)\) de verdad está en \(S^2 = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 : |\mathbf{x}|=1\}\).
Solución: Tenemos que \[\mathrm{Re}(w \bar{z})^2 + \mathrm{Im}(w \bar{z})^2 = |w\bar{z}|^2 = |w|^2|\bar{z}|^2 = |w|^2 |z|^2,\] así que \[|p(w,z)|^2 = |w|^2 |z|^2 + \left( |w|^2 - |z|^2 \right)^2 = \left(|w|^2 + |z|^2 \right)^2 = 1.\]
(b) Prueba que \(p\) es una sumersión.
Solución: Quizá lo menos confuso es reescribir \(p\) como función de cuatro variables reales. Sea \(w = u+vi\), y sea \(z = x+yi\). Tenemos que \(w\bar{z} = (ux+vy) + (vx-uy)i\), así que \[p(u,v,x,y) = (ux+vy, vx-uy, u^2+v^2-x^2-y^2).\]
Derivando, \[dp = 2 \begin{pmatrix} x & y & u & v \\ -y & x & v & -u \\ u & v & -x & -y \end{pmatrix} \]
Esta matriz no la debemos considerar como transformación lineal \(\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\), sino que debemos pensar en su restricción a una transformación lineal \(T_{(u,v,x,y)} S^3 \to T_{(a,b,c)} S^2\), donde \((a,b,c) = p(u,v,x,y)\).
Como \(S^3\) tiene ecuación \(U^2+V^2+X^2+Y^2 = 1\), su plano tangente en el punto \((u,v,x,y)\) tiene ecuación \(2uU + 2vV + 2xX + 2yY = 0\). Análogamente la ecuación de \(T_{(a,b,c)}S^2\) es \(aA + bB + cC = 0\).
Digresión: Nótese que no es inmediatamente obvio de las ecuaciones que \(dp\) realmente manda \(T_{(u,v,x,y)}S^3\) en \(T_{(a,b,c)}S^2\) donde \(a=2ux+2vy\), \(b=2vx-2uy\), \(c=u^2+v^2-x^2-y^2\), es decir, no es obvio que si el vector \((U,V,X,Y)\) satisface \(uU+vV+xX+yY=0\), entonces al multiplicarlo por la matriz \(dp\) obtenemos un vector \((A,B,C)\) que cumple \(aA+bB+cC=0\). Sabemos que así debe ser porque sabemos que \(dp(T_{(u,v,x,y)}S^3) \subseteq T_{(a,b,c)}S^2\). Fin de digresión.
Para ver que \(p : S^3 \to S^2\) es una sumersión, necesitamos ver que \(dp : T_{(u,v,x,y)} S^3 \to T_{(a,b,c)} S^2\) es suprayectiva. Como el dominio es de dimensión 3 y el codominio de dimensión 2, la suprayectividad es equivalente a ver que el núcleo es de dimensión 1.
Nótese que no estamos hablando del núcleo de la matriz escrita arriba, sino del nucleo de la derivada \(dp\), o sea, la transformación lineal que se obtiene restringiendo esa matriz al subespacio \[T_{(u,v,x,y)}S^3 = \{(U,V,X,Y) : uU+vV+xX+yY = 0\};\] equivalentemente, queremos ver tiene dimensión 1 el núcleo de la matriz: \[\begin{pmatrix} x & y & u & v \\ -y & x & v & -u \\ u & v & -x & -y \\ u & v & x & y \end{pmatrix}.\]
Si \((U,V,X,Y)\) está en este núcleo, los últimos dos renglones nos dicen que \(uU+vV = xX + yY = 0\). Ahora, no podemos tener que \((u,v) = (x,y) = (0,0)\), porque \((u,v,x,y) \in S^3\), así que sin pérdida de generalidad, \((u,v) \neq (0,0)\). En ese caso \((U,V) = \lambda (-v,u)\) para algun λ.
Las ecuaciones que definen el núcleo se reducen a: \[\begin{aligned} uX+vY &= \lambda(vx-uy)\\ vX-uY &= -\lambda(ux+vy)\\ xX+yY &= 0\end{aligned} \] La única solución de las primeras dos es \((X,Y) = \lambda(-y,x)\), y esa cumple la última también. Entonces, el núcleo es \(\langle(-v,u,-y,x)\rangle\) que sí es de dimensión 1, como queríamos.
(c) Prueba que todas las preimágenes \(p^{-1}(y)\) son difeomorfas a \(S^1\) para cualquier \(y \in S^2\).
Solución: Las preimágenes son variedades de dimensión 1 así que (si ya supiéramos la clasificación de variedades de dimensión 1 sabríamos que) constan de cierto número de intervalos abiertos y cierto número de círculos, pero queremos saber que de hecho constan de exactamente un círculo (y 0 intervalos). Quizá lo más simple es resolver el sistema de ecuaciones: \[\begin{aligned} \mathrm{Re}(w \bar{z}) & = a \\ \mathrm{Im}(w \bar{z}) & = b \\ |w|^2 - |z|^2 & = c\\ \end{aligned}\] Las primeras dos ecuaciones dicen que \(w\bar{z} = a+bi\).
Si \(a=b=0\), entonces \(w\bar{z}=0\) y \(c=\pm 1\). Es fácil ver que si \(c=1\), las soluciones son \(|w|=1, z=0\), un círculo; y si \(c=-1\), son \(w=0, |z|=1\), otro círculo.
Si \((a,b) \neq (0,0)\), entonces \(z\neq 0\) y de \(w\bar{z}=a+bi\) obtenemos \(w = \frac{(a+bi)z}{2|z|^2}\) y la ecuación \(|w|^2-|z|^2=c\) se reduce a \(\frac{a^2+b^2}{4|z|^2} - |z|^2=c\). Esa es una ecuación cuadrática en \(|z|^2\) cuya única solución positiva es \(|z|^2 = \frac{1-c}{2}\). Así que obtenemos el círculo \(|z| = \sqrt{\frac{1-c}{2}}\), \(w = \frac{a+bi}{1-c} z\).