Tarea-examen 1
Topología Diferencial I

Fecha de entrega: martes, 6 de diciembre, a más tardar a las 11:59pm.

Modo de entrega: Por correo electrónico a omar@matem.unam.mx. Pueden escribir sus soluciones en la computadora o a mano y escanearlas. Si lo escanean, de preferencia junten todas las páginas en un solo archivo PDF.

1. Pensemos en \(\mathbb{R}^9\) como el espacio de matrices de \(3 \times 3\) y sea \(U\) el subespacio de las matrices que son invertibles —es un abierto en \(\mathbb{R}^9\). Sea \(F : U \to U\) la función \(F(A) := A^{-1}\). Dada una matriz invertible \(A\), calcula la derivada de \(F\) en el punto \(A\).

   Nótese que la matriz Jacobiana \(D_AF\) es una matriz de \(9 \times 9\), cuyas entradas dependen de las entradas de \(A\). En lugar de dar esas \(81\) fórmulas, es mucho mejor dar una fórmula sencilla para la matriz aplicada a algún vector \(H\) de \(\mathbb{R}^9\). Ese vector \(H\) también lo podemos pensar como una matriz de \(3 \times 3\) y hay una fórmula simple usando operaciones matriciales para \(D_{A}F(H)\).

2. Para \(m < n\) podemos identificar a \(\mathbb{R}^{m}\) con el subconjunto \(V:=\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, 0, 0, \ldots, 0) : x_{i} \in \mathbb{R}\}\}\) de \(\mathbb{R}^{n}\). Prueba que las funciones suaves \(V \to \mathbb{R}^k\) (según la definición para funciones suaves con dominio \(V\) que no es abierto) coinciden con las funciones suaves \(\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\).
3. Prueba que el cuadrado \(\{(x,y) \in \mathbb{R} : |x|+|y|=1\}\) no es una variedad suave encajada en \(\mathbb{R}^{2}\).
4. Sea \(V\) un espacio vectorial real de dimensión finita y sea \(\Delta = \{(v,v) : v \in V\}\) la diagonal de \(V \times V\). Dada una transformación lineal \(A : V \to V\), consideramos su gráfica, el subespacio de \(V \times V\) dado por \(W = \{(v,Av) : v \in V\}\). Pensando en \(W\) y \(\Delta\) como subvariedades suaves de \(V \times V\), prueba que \(W\) y \(\Delta\) son transversales si y solo \(1\) no es un valor propio de \(A\).

5. Sea \(\Omega\) la matriz de \(2n \times 2n\) que tiene la siguiente descomposición en cuatro bloques de \(n \times n\): \[ \Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_{n} \\ -I_{n} & 0 \end{pmatrix}, \] donde \(I_{n}\) denota la matrix identidad de \(n \times n\). El grupo simpléctico real se define como \[\mathsf{Sp}(2n,\mathbb{R}) := \{ M \in M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) : M^{T} \Omega M = \Omega\}.\]

   Prueba que \(\mathsf{Sp}(2n,\mathbb{R})\) es una subvariedad suave de \(M_{2n \times 2n}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{4n^2}\). ¿De qué dimensión es? Prueba que el espacio tangente en la identidad es \[T_{I_{2n}} \mathsf{Sp}(2n,\mathbb{R}) = \left\{\begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{pmatrix} : A, B, C \in M_{n \times n}(\mathbb{R}), B = B^T, C = C^T \right\}.\]

6. Prueba que el subconjunto \(\Sigma\) de \(\mathbb{C}^{3} = \mathbb{R}^{6}\) definido abajo es una variedad suave de dimensión 3. \[\Sigma := \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^{3} : x^{3}+y^{3}+z^{3} = 0, |x|^{2}+|y|^{2}+|z|^{2}=1\}.\]