Preliminares de Álgebra Lineal y Cálculo de Varias Variables
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Los principales prerequisitos para el curso son álgebra lineal y sobre todo, cálculo diferencial de varias variables. Fuera de eso se necesita un poquito de topología, pero lo que se ve de topología en los cursos de Cálculo de la Facultad de Ciencias es suficiente.
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Fecha de entrega:
- Sea \(T : V \to V\) una transformación lineal en un espacio vectorial \(V\). Prueba que si \(T^2 = T\), entonces \(V \cong \ker T \oplus \ker(\mathrm{id}_V - T)\).
- Supón que una curva suave en algún \(\mathbb{R}^n\) tiene la propiedad de que todas sus rectas tangentes son concurrentes (es decir, que hay un punto \(p\) en \(\mathbb{R}^n\) tal que todas las rectas a la curva pasan por \(p\)). Prueba que la curva está contenida en una recta.
Pensemos en \(\mathbb{R}^9\) como el espacio de matrices de \(3 \times 3\) y sea \(U\) el subespacio de las matrices que son invertibles —es un abierto en \(\mathbb{R}^9\). Sea \(F : U \to U\) la función \(F(A) := A^{-1}\). Dada una matriz invertible \(A\), calcula la derivada de \(F\) en el punto \(A\).
Nótese que la matriz Jacobiana \(D_AF\) es una matriz de \(9 \times 9\), cuyas entradas dependen de las entradas de \(A\). En lugar de dar esas \(81\) fórmulas, es mucho mejor, dar una fórmula sencilla para la matriz aplicada a algún vector \(H\) de \(\mathbb{R}^9\). Ese vector \(H\) también lo podemos pensar como una matriz de \(3 \times 3\) y hay una fórmula simple usando operaciones matriciales para \(D_{A}F(H)\).