Definición de variedad suave
Nuestras variedades suaves (muchas veces diremos nada más variedades porque son las únicas ue consideramos en el curso) serán subconjuntos de algún \(\mathbb{R}^N\).
Para definirlas primero hay que definir cuando una función \(f : X \to Y\) entre dos subconjuntos \(X \subset \mathbb{R}^m\) y \(Y \subset \mathbb{R}^n\) es suave. Diremos que \(f\) es suave si para cada \(x \in X\) hay algún abierto \(U \subset \mathbb{R}^m\) y alguna función \(\bar{f} : U \to \mathbb{R}^n\) tal que \(\bar{f}\) restringido a \(U \cap X\) coincida con \(f\) y tal que \(\bar{f}\) es suave en el sentido «clásico», para funciones entre abiertos de espacios euclideanos: tiene derivadas parciales de todos los ordenes.
Decimos que \(f : X \to Y\) es un difeomorfismo si es suave, biyectiva y su inversa es suave también. Y decimos que \(X\) y \(Y\) son difemorfos si existe algún difeomorfismo entre ellos.
Ahora sí, decimos que \(X \subset \mathbb{R}^m\) es una variedad suave de dimensión \(d\) si para cada punto \(x \in X\) existe un abierto \(U\) de \(\mathbb{R}^m\) tal que \(U \cap X\) es difeomorfo a algún abierto en \(\mathbb{R}^d\).
Constancia de la dimensión
En la definción de variedad suave, la dimensión \(d\) está fija de antemano y es la misma en todos para las vecindades de todos los puntos. Si \(X \subset \mathbb{R}^m\) es conexo, no es necesario suponer que la dimensión es la misma para todos las vecindades, sino que lo podemos demostrar.
Sea \(X \subset \mathbb{R}^m\) conexo tal que para cada punto \(x \in X\) existe un abierto \(U_x\) de \(\mathbb{R}^m\) tal que \(U_x \cap X\) es difeomorfo a algún abierto en \(\mathbb{R}^{d_x}\). Entonces todas las \(d_x\) son iguales, digamos a \(d\), y \(X\) es una variedad suave de dimensión \(d\).
Antes de demostrar esto, notemos que si \(X\) no es conexo esto es obviamente falso: \(X\) podría ser la unión ajena de dos variedades de distintas dimensiones.
Si \(U \subset \mathbb{R}^m\) y \(V \subset \mathbb{R}^n\) son abiertos difeomorfos entonces \(m=n\).
Supongamos que \(f : U \to V\) es un difeomorfismo y sea \(g : V \to U\) la inversa de \(f\). Tenemos que \(f \circ g = \mathrm{id}_V\) y \(g \circ f = \mathrm{id}_U\). Sea \(u \in U\) arbitrario. Derivando con la regla de la cadena obtenemos que \(d_uf \; d_{f(u)}g = I_n\) y \(d_{f(u)}g \; d_uf = I_m\). Esto quiere decir que las matrices \(d_uf\) y \(d_{f(u)}g\) son inversas una de la otra. Esto solo puede suceder si son cuadradas, por lo que \(m=n\).
Ahora podemos probar la proposición.
Por el lema, para cada punto \(x \in X\) solo hay un valor posible de \(d_x\). En efecto si \(U\) es una vecindad de \(x\) difeomorfa a un abierto de \(\mathbb{R}^{d}\) y \(U'\) es otra vecindad de \(x\), ésta difeomorfa a un abierto de \(\mathbb{R}^{d'}\); entonces \(U \cap U'\) es difeomorfo a abiertos tanto en \(\mathbb{R}^d\) como en \(\mathbb{R}^{d'}\) y por el lema \(d=d'\).
Sea \(d\) una de las dimensiones que aparecen como \(d_x\) para algún \(x\). Cada punto \(u\) de la vecindad \(U_x\) tiene una vecindad difeomorfa a un abieto de \(\mathbb{R}^{d_x}\), a saber, \(U_x\). Entonces \(d_u = d\) para todo \(u \in U_x\). Esto prueba que \(\{x : d_x = d\}\) es abierto.
Como hemos expresado a \(X = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \{x : d_x = d\}\) como unión ajena de abiertos y \(X\) es conexo, todos esos abiertos tienen que ser vacíos salvo uno.
Referencias
- La sección 1.1 del Guillemin y Pollack, (p. 1–5)1.
- La primer parte del capítulo del Milnor, (p. 1 y 2)2.
- Como comentamos en el chat, hay otra definición posible de variedad que no usaremos, pero si quieren echarle un ojo, vean la sección 1.1 de estas notas de Óscar Palmas 3
Preguntas
La sección «Preguntas» en general va a contener cosas para pensar relativas al tema. Algunas son ejercicios «normales» donde está claro que es una solución correcta, pero algunas son preguntas más «abiertas», «vagas» o «filosóficas», y tienen como motivo entender algo intuitivamente o entender porque las cosas se hacen de cierta forma. Estas preguntas se discutirán en el chat del curso.
¿Cómo identifica uno «a simple vista» una variedad suave?
Concretamente, ¿cuáles de los siguientes conjuntos son variedades suaves?, y, los que no son, ¿por qué no, qué falla?
- El cuadrado: \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| = 1\}\).
- Un cacho de una párabola sin extremos: \(\{(x,x^2) : x \in (0,1)\}\).
- Un cacho de una párabola con extremos: \(\{(x,x^2) : x \in [0,1]\}\).
- La unión de los planos coordenados: \(\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : xyz=0\}\).
- ¿Por qué se define suave para subconjuntos de euclideanos en términos de que localmente exista una función definida en un abierto que sea suave y que se restrinja a la función dada?
- Una variedad de dimensión \(d\) es un subconjunto \(X \subset \mathbb{R}^n\) que cumple ciertas condiciones. ¿Qué papel juega la \(n\)? ¿Cómo se relaciona con \(d\)?
- Opcional: Si vieron la otra definición de variedad, la que empieza con un espacio topológico arbitrario, ¿cómo se relaciona con esta? Busca un poco de información sobre el teorema de encaje de Whitney.4
Tarea 1
Fecha de entrega:
- Prueba que \(\mathbb{R}\) y \(\{(x,|x|) : x \in \mathbb{R}\}\) no son difeomorfos.
- Si \(X\) es una variedad suave y \(f : X \to Y\) es una función suave, prueba que la gráfica de \(f\), \(\mathrm{gr}(f) := \{(x, y) \in X \times Y : f(x) = y\}\) también es una variedad y que es difeomorfa a \(X\).
Prueba que la unión de los ejes, \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy=0\}\) no es una variedad de dimensión \(1\).
Opcional: De hecho, no es una variedad de ninguna dimensión. ¿Puedes probar que no es?
Los números de página se refieren a los PDFs en la bibliografía en la página principal del curso.
Cuando sea relevante también mencionaré donde hallar un tema en el libro de Milnor, pero el texto principal es el de Guillemin y Pollack. Consideren la lectura del libo de Milnor como opcional pero altamente recomendada.
No confundan estas notas de Óscar Palmas con la traducción del libro de Guillemin y Pollack que hizo Óscar Palmas.
Yo recomiendo básicamente siempre empezar por Wikipedia (en inglés, que usualmente es mucho mejor que en español). Whitney embedding theorem