El espacio tangente y derivadas
Índice
Dos conceptos básicos para variedad suaves, que les dan su personalidad y las distinguen de las variedad topológicas son el espacio tangente y la noción de derivada de una función suave entre variedades.
Dada una variedad suave \(X \subset \mathbb{R}^{N}\) y un punto \(x \in X\), definiremos el espacio tangente a \(X\) en \(x\), denotado por \(T_x X\), como un cierto subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{N}\) de dimensión \(d = \dim X\).
Por la definición de variedad suave, hay una vecindad \(U\) de \(p\) tal que \(U \cap X\) es difeomorfo a un abierto en \(\mathbb{R}^{d}\). El difeomorfismo \(\phi : U \cap X \to V \subset \mathbb{R}^{d}\) se llama una carta de \(X\) y su inversa, que para no tener superíndices llamaremos \(\psi\), es una parametrización de (un pedazo de) \(X\).
Definimos el espacio tangente a \(X\) en \(x\) como la imagen de la derivada de \(\psi\) en el punto \(\phi(x)\), en símbolos \(T_x X := \mathop{\mathrm{im}} d_{\phi(x)} \psi\).
La derivada de una función suave \(f : X \to Y\) en el punto \(x \in X\) será definida como una transformación lineal \(T_x X \to T_{f(x)} Y\).
Hay dos estrategias para definirla:
- Por nuestra definición de función suave, existe una extensión \(\bar{f}\) de \(f\) a una abierto \(U\) alrededor de \(x\) tal que \(\bar{f}\) es suave y \(\bar{f}|_{U \cap X} = f|_{U \cap X}\). La matriz Jacobiana de \(\bar{f}\), \(d_x \bar{f}\) define una transformación lineal entre los espacios euclideanos que contienen a \(X\) y a \(Y\). Definimos la derivada de \(f\) en \(x\) como la restricción de esa transformación lineal al subespacio \(T_x X\), es decir: \(d_xf := (d_x \bar{f})|_{T_x X} : T_x X \to T_{f(x)} Y\).
- Podemos tomar parametrizaciones \(\phi : U \subset \mathbb{R}^k \to X\) con \(\phi(0)=x\) y \(\psi : V \subset \mathbb{R}^{\ell} \to Y\) con \(\psi(0) = f(x)\) y definimos \(d_xf := d_0 \psi \circ d_0 \left(\psi^{-1} \circ f \circ \phi \right) \circ (d_0 \phi)^{-1}\). Esta es la definición que usan Guillemin y Pollack
Referencias
- Sección 1.2 en el Guillemin y Pollack (p. 8–12)
- Sección Tangent Spaces and Derivatives en el libro de Milnor (p. 2–7)
Preguntas
- El espacio tangente es un subespacio vectorial del euclideano, en particular, siempre pasa por el origen. ¿Eso está bien? ¿Coincide con lo que esperabas? Si no, ¿cuál es la relación y por qué lo habremos definido así?
- ¿El espacio tangente coincide con la idea que ya tenías de recta tangente a una curva suave? Digamos que \(\gamma : (0,1) \to \mathbb{R}^N\) es una curva suave. Su recta tangente en el punto \(\gamma(t_0)\) es \(\{\gamma(t_0) + \lambda \gamma'(t_0) : \lambda \in \mathbb{R} \}\). ¿Cómo se relaciona eso con nuestra definición aquí?
- Probablemente aprendieron en su curso de cálculo de varias variables que si \(f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) es una función suave de dos variables, su plano tangente en el punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) tiene ecuación \[ z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0).\] ¿Eso como se relaciona con esta definición?
- ¿Por qué coinciden ambas definiciones de derivada que bosquejamos arriba?
- ¿En qué sentido estás definición de derivada es la única posible si queremos que coincida con la definición usual para funciones suaves entre abiertos de \(\mathbb{R}^N\) y que se valga la regla de la cadena?
Tarea
Fecha de entrega:
(Guillemin y Pollack, ejercicio 1.2.12) Una curva (parametrizada) en una variedad suave \(X\) es una función suave \(c : (a,b) \subset \mathbb{R} \to X\) de un intervalo abierto en \(\mathbb{R}\) en \(X\). La derivada de \(c\) en \(t_0 \in (a,b)\) es una transformación lineal \(d_{t_0} c : \mathbb{R} \to T_{c(t_0)} X\), por definición el vector de velocidad es, por definición, \(c'(t_0) := d_{t_0}c(1)\).
Verifica que esta definición nueva de \(c'(t_0)\) coincide con la clásica: si \(X \subset \mathbb{R}^N\) y \(c(t) = (c_1(t), \ldots, c_N(t)) \in \mathbb{R}^N\), entonces el vector de velocidad de \(c\) en \(t_0\) está dado por \((c'_1(t_0), \ldots, c'_N(t_0))\), donde estas \(c'_i(t_0)\) son derivadas como aprendiste en tu primer curso de cálculo, de funciones \((a,b) \to \mathbb{R}\).
Prueba que cualquier vector en \(T_xX\) es el vector de velocidad de alguna curva en \(X\) y viceversa.
- (Guillemin y Pollack, ejercicio 1.2.8) Sea \(a>0\) ¿Cuál es el espacio tangente al paraboloide \(x^2 + y^2 - z^2 = a\) en el punto \((\sqrt{a}, 0, 0)\)? Seguramente sabes cómo calcular esto «clásicamente», el punto de este ejercicio es hacerlo usando nuestras nuevas definiciones.
(Guillemin y Pollack, ejercicio 1.2.11)
Sea \(f : X \to Y\) una función suave entre variedades suaves, sea \(\Gamma := \{(x,f(x)) : x \in X\} \subset X \times Y\) la gráfica de \(f\) y sea \(F : X \to X \times Y\) dada por \(F(x) := (x,f(x))\), de modo que \(\Gamma = \mathop{\mathsf{im}} F\).
(a) Prueba que \(d_xF(v) = (v,d_xf(v))\).
(b) Prueba que el espacio tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(x\) es la gráfica de la derivada \(d_x f : T_x X \to T_{f(x)}Y\), en símbolos, \(T_{(x,f(x))} \Gamma = \mathsf{gráfica}(d_x f)\).