El teorema de la función inversa e inmersiones
El teorema de la función inversa
Seguramente vieron la versión para abiertos euclideanos:
Sea \(f : U \to \mathbb{R}^n\) una función suave definida en un abierto \(U \subset \mathbb{R}^n\). Si la derivada \(d_{x}f\) en el punto \(x \in U\) es invertible, entonces existen abiertos \(x \in V \subset \mathbb{R}^{n}\) y \(f(x) \in W \subset \mathbb{R}^{n}\) tales que \(f\) es un difeomorfismo entre \(V\) y \(W\), es decir, \(f\) tiene una inversa suave \(f^{-1} : W \to V\).
Pueden leer una prueba de esa versión en el Blog de Leonardo Martínez. (Bueno, de hecho Leo prueba una versión más fina donde solo supones que \(f\) es de clase \(C^1\)).
El teorema de la función inversa también se vale para variedades y es fundamental para el desarrollo de la topología diferencial.
Sea \(f : X \to Y\) una función suave entre variedades suaves, con \(X \subset \mathbb{R}^{\ell}\) y \(Y \subset \mathbb{R}^m\). Si la derivada \(d_xf : T_xX \to T_{f(x)}Y\) en el punto \(x \in X\) es una transformación lineal invertible, entonces existen abiertos \(x \in V \subset \mathbb{R}^{\ell}\) y \(f(x) \in W \subset \mathbb{R}^{m}\) tales que \(f\) es un difeomorfismo entre \(V \cap X\) y \(W \cap Y\), es decir, \(f\) tiene una inversa suave \(f^{-1} : W \cap Y \to V \cap X\).
(Hasta ahora he estado usando estas intersecciones incómodas \(V \cap X\) para que el único concepto de abierto que usemos sea el de abierto de \(\mathbb{R}^n\), pero ya me está cansando. Digamos que un subconjunto de una variedad \(X \subset \mathbb{R}^{\ell}\) es «abierto en \(X\)» si es la forma \(V \cap X\) para algún abierto \(V \subset \mathbb{R}^{\ell}\). El teorema anterior se vería más bonito con esa noción de abierto.)
En la tarea tienen que deducir la versión para variedades de la versión para abiertos euclideanos.
Inmersiones y encajes
Una función suave \(f : X \to Y\) es una inmersión en \(x \in X\) si \(d_xf : T_xX \to T_{f(x)}Y\) es inyectiva y es una inmersión (a secas) si es una inmersión en cada punto de \(X\).
Una inmersión tiene que ser inyectiva en una vecindad de cada punto, pero no tiene porque ser inyectiva (uno dice «es localmente inyectiva pero no tiene porque ser globalmente inyectiva»).
Un encaje es una inmersión que es inyectiva y propia (propia quiere decir que la inversa de cualquier compacto es compacta). La ventaja de esta noción es que un encaje es un difeomorfismo entre su dominio y su imagen.
Preguntas
- Esto es parte de la tarea, pero es importante entender que la versión importante del teorema de la función inversa es para abiertos euclideanos, la generalización a variedades es «trivial» comparada con probar la versión para abiertos euclideanos.
- En dibujos1, ¿por qué las inmersiones no tienen que ser inyectivas?, ¿por qué las inmersiones inyectivas no tienen porque ser propias?, ¿por qué una inmersión inyectivas no tiene porque ser un difeomorfismo entre su dominio y su imagen?
- Creo que el teorema de inmersión local del libro es tal vez la primera vez que hacemos uso serio de la idea de «coordenadas locales», asegúrense de entender qué significa.
Referencia
- Guillemin y Pollack, sección 1.3 (p. 13–19)
Tarea
Fecha de entrega:
- Suponiendo la versión del teorema de la función inversa para abiertos en \(\mathbb{R}^{n}\) prueba la versión para variedades.
Considera una función \(f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) que sea difeomorfismo local.
a) [Guillemin y Pollack, ej. 1.3.3] Prueba que si \(d=1\), la imagen de \(f\) es un intervalo abierto y \(f\) es difeomorfismo.
b) [Guillemin y Pollack, ej. 1.3.4] Da un ejemplo con \(d=2\) que no sea difeomorfsimo. (Sugerencias: el libro tiene una sugerencia perfectamente válida, y aquí va una sugerencia para una solución diferente: recuerden sus cursos de variable compleja).
[Guillemin y Pollack, ej. 1.3.2] Supón que \(Z\) es una subvariedad suave de \(X\) y que \(\dim Z = \ell\), \(\dim X = k\). Enuncia con cuidado que significa la siguiente afirmación:
«Para cada \(z \in Z\), existe un sistema de coordenadas locales \(x_1, \ldots, x_k\) en una vecindad \(U\) de \(z\) en \(X\) tal que \(Z \cap U\) está dado por las ecuaciones \(x_{\ell+1} = x_{\ell+2} = \cdots = x_k = 0\)».
Prueba la afirmación también.
Con «en dibujos» a lo que me refiero es que deben saber dibujar contraejemplos y entender intuitivamente porque son contraejemplos. Aquí una intuición sólida es más importante que pruebas formales.