Transversalidad
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Ya vimos que si \(f : X \to Y\) es suave y \(y \in Y\) es un valor regular, entonces \(f^{-1}(y)\) es una subvariedad suave de \(X\). ¿Y sí en lugar un solo punto \(y \in Y\), tomaramos la preimagen \(f^{-1}(Z)\) de una subvariedad \(Z \subset Y\)? ¿Cuál es el análogo de la condición de ser valor regular que debe cumplir \(Z\) para garantizar que \(f^{-1}(Z)\) sea subvariedad de \(X\)? Eso se llama transversalidad:
Una función suave \(f : X \to Y\) es transversal a una subvariedad \(Z \subset Y\) si para cada \(x \in f^{-1}(Z)\), tenemos que \(T_{f(x)}Y\) es generado por sus subespacios vectoriales \(\mathrm{im}(d_{x}f)\) y \(T_{f(x)}Z\).
Fíjense que si \(Z = \{y\}\) consta de un solo punto, \(T_{f(x)}Z = 0\), así que la condición se reduce a que \(T_{f(x)}Y = \mathrm{im}(d_x f)\). Es decir, \(f :X \to Y\) es transversal a \(Z = \{y\}\) si y solo si \(y\) es un valor regular de \(f\).
Si \(f : X \to Y\) es transversal a \(Z \subset Y\), entonces \(f^{-1}(Z)\) es una subvariedad de \(X\) y \(\dim f^{-1}(Z) = \dim X - \dim Y + \dim Z\).
La dimensión es más fácil de recordar con el concepto de codimensión de una subvariedad. Definimos \(\mathrm{codim}_{Y} Z = \dim Y - \dim Z\). Conviene pensar que \(\mathrm{codim}_{Y} Z\) es el menor número de ecuaciones de la forma \(g = 0\) para alguna \(g : Y \to \mathbb{R}\) necesarias para que el conjunto de soluciones en \(Y\) sea \(Z\).
En término de codimensión tenemos que \(\mathrm{codim}_{X} f^{-1}(Z) = \mathrm{codim}_{Y} Z\).
Un caso particular muy importante de esto es el da la inclusión \(j : X \hookrightarrow Y\) de una subvariedad. Para esta función varias cosas se simplifican: tenemos que \(j^{-1}(Z) = X \cap Z\) y \(\mathrm{im}(d_{x} j) = T_{p}X\). Así que \(j\) es transversal a \(Z \subset Y\) si y solo para toda \(p \in X \cap Z\) se tiene que \(T_p Y = T_p X + T_p Z\).
Esa condición es simétrica en \(X, Z \subset Y\) y diremos que \(X\) y \(Z\) se son transversales. El teorema de arriba nos dice que cuando \(X\) y \(Z\) son subvariedades transversales de \(Y\) tenemos que \(X \cap Z\) es una subvariedad suave de \(X\) (y de \(Z\) por la simetría) y que su dimensión está dada por \(\dim (X \cap Z) = \dim X + \dim Z - \dim Y\), o equivalentemente, \(\mathrm{codim}(X \cap Z) = \mathrm{codim}(X) + \mathrm{codim}(Z)\) con las tres codimensiones calculadas con respecto a \(Y\).
Esa última ecuación tiene una interpretación muy intuitiva: se necesitan \(k = \mathrm{codim}(X)\) ecuaciones de la forma \(g = 0\) para \(g : Y \to \mathbb{R}\) para definir \(X\) y \(\ell = \mathrm{codim}(Z)\) ecuaciones para definir \(Z\); esas \(k+\ell\) ecuaciones juntas definen \(X \cap Z\) y la condición de transversalidad es lo que nos garantiza que las \(k + \ell\) ecuaciones son «independientes», así que \(k+\ell = \mathrm{codim}(X \cap Z)\).
Preguntas
- ¿Cómo se ven geometrícamente subvariedades transversales \(X , Z \subset Y\)? ¿En qué sentido es lo mismo que tener el mínimo número de direcciones tangente comunes? En particular, si \(\dim X + \dim Z = \dim Y\), ¿por qué ser transversales es equivalente a no tener una tangente común? En el libro hay muchos dibujos de intersecciones transversales y no transversales, asegúrense de entender la intuición detrás de ellos.
- Si \(X, Z \subset Y\) no son transversales, ¿puede suceder que \(X \cap Z\) de todos modos sea subvariedad? Si sí, ¿puede pasar que su dimensión no corresponda a la fórmula del teorema?, ¿puede pasar que sí? Contesta todas estas preguntas con dibujos.
Aquí puse la definición de transversalidad como conejo sacado de un sombrero y afirmé que se cumple el teorema sobre la imagen inversa usando esa definición, pero el libro explica que si queremos ese teorema, eso nos lleva a definir transversalidad así, usando la idea que ya tenemos de valor regular. Asegúrense de entender ese argumento.
La idea de dar argumentos así me parece muy importante. Aunque técnicamente uno puede dar definiciones como se le pegue la gana, sicológicamente es mucho mejor si una definición está motivada y justificada. Aquí motivamos la definición diciendo que los valores regulares ya nos dicen cuando una sola ecuación define una subvariedad y que necesitamos algo análogo para sistemas de ecuaciones. Y el libro justifica esa definición explicando como llegar a ella si ya tenemos la noción de valor regular.
Aunque en principio uno puede tratar la matemática como un juego formal donde las definiciones son arbitrarias y hay que ver que consecuencias tienen, se entiende todo mucho mejor y desarrolla uno intuición útil más rápido si siempre busca motivar y justificar las definiciones.
Tarea
Fecha de entrega:
- [Guillemin y Pollack, 1.5.5] Sea \(f : X \to Y\) una función suave entre variedades suaves y supongamos que \(f\) es tranversal a una subvariedad \(Z \subset Y\). Entonces \(W = f^{-1}(Z)\) es una subvariedad de \(X\). Prueba que \(T_x W = df_{x}^{-1}(T_{f(x)}(Z))\) donde \(df_x : T_x X \to T_{f(x)} Y\) es la derivada de \(f\) en \(x \in X\).
- [Guillemin y Pollack, 1.5.9] Sea \(V\) un espacio vectorial real de dimensión finita y sea \(\Delta = \{(v,v) : v \in V\}\) la diagonal de \(V \times V\). Dada una transformación lineal \(A : V \to V\), consideramos su gráfica, el subespacio de \(V \times V\) dado por \(W = \{(v,Av) : v \in V\}\). Pensando en \(W\) y \(\Delta\) como subvariedades suaves de \(V \times V\), prueba que \(W\) y \(\Delta\) son transversales si y solo \(1\) no es un valor propio de \(A\).
- [Guillemin y Pollack, 1.5.7] Sean \(f : X \to Y\) y \(g : Y \to Z\) funciones suaves entre variedades suaves, y supongamos que \(g\) es tranversal a una subvariedad \(W \subset Z\) (lo cual implica que \(g^{-1}(W)\) es una subvariedad suave de \(Y\)). Demuestra que \(f\) es transversal a \(g^{-1}(W)\) si y solo si \(g \circ f\) es transversal a \(W\).
Referencias
- Guillemin y Pollack, sección 1.5 (p. 27–33)