Homotopía

Una de las nociones básicas de la topología es la de homotopía, que corresponde a la intuición de deformar continuamente una función continua. Imagen una animación, donde en cada momento \(t\) se ve la gráfica de alguna función continua \(f_{t} : X \to Y\), de manera que las gráficas cambien continuamente a lo largo del tiempo.

¿Cómo formalizar este concepto intuitivo? Queremos que cada \(f_{t}\) sea continua pero también que al variar \(t\) las funciones varien de manera continua, que en la película no se vea que la gráfica cambia abruptamente. Una manera de captarlo es decir que la función de dos variables \(F(x,t) := f_{t}(x)\), \(F : X \times [0,1] \to Y\) es continua. Esto corresponde a la intuición porque si \((x_{1},t_{1})\) está cerca de \((x_{2},t_{2})\) entonces la gráfica de la función \(f_{t_2}\) debe ser muy parecida a la de la función \(f_{t_1}\), lo cual nos dice que \(f_{t_2}(x_2)\) está cerca de \(f_{t_1}(x_2)\). Y \(f_{t_1}(x_2)\) a su vez está cerca de \(f_{t_1}(x_1)\) porque \(f_{t_1}\) es continua.

Hasta ahora hemos estado hablando de funciones continuas, pero para propósitos de la topología diferencial es más útil tratar con funciones suaves.

Entonces adoptamos como definición la siguiente:

Usualmente dada una homotopía \(F\), definimos \(f_{t}(x) := F(x,t)\) para \(t \in [0,1]\).

Algunas homotopías pueden darse por medio de una fórmula sencilla. Por ejemplo, \(F(x,t) = \sin(tx) + (1-t)x^{2}\) es una homotopía entre \(f_{0}(x) = x^{2}\) y \(f_{1}(x) = \sin(x)\). Pueden ver la película de esta homotopía en Desmos.

1. ¿Por qué cualesquiera dos funciones \(f_{0}, f_{1} : X \to \mathbb{R}^{n}\) son homotópicas? (Sugerencia: parametriza el segmento de recta que une \(f_{0}(x)\) con \(f_{1}(x)\).)
2. ¿Por qué cualesquiera dos funciones \(f : X \to \mathbb{R}^{n}\) son homotópicas?
3. ¿Puedes hallar una homotopía explícita entre la identidad \(S^{1} \to S^{1}\) y la función \(S^{1} \to S^{1}\), \(x \mapsto -x\)?
4. Pensando en \(S^{1}\) como los números complejos de norma uno, podemos definir \(f : S^{1} \to S^{1}\) dada por \(f(z) = z^{2}\). Intenta construir una homotopía entre \(f\) y la identidad (no deberías de poder, pero inténtalo, vé que falla).
5. En cambio la función \(\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) dada por \(z \mapsto z^{2}\) sí es homotópica a la identidad, ¿por qué?
6. Una función que es homotópica a una función constante se llama nulhomotópica. Para probar que una función es nulhomotópica podemos dar una homotopía entre ella y una función constante, pero probar que una función no es nulhomotópica es más sutil. Todavía no tenemos herramientas adecuadas para eso, pero aquí van algunos hechos acerca de funciones suaves entre esferas como cultura general:
   • Todas las funciones \(S^{m} \to S^{n}\) con \(m < n\) son nulhomotópicas. Intenta visualizar esto para \(m=1, n=2\) o \(m=2, n=3\).
   • También todas las funciones \(S^n \to S^1\) con \(n>1\) son nulhomotópicas. Intenta visualizar esto para \(n=2\).

   • ¡No todas las funciones \(S^3 \to S^{2}\) son nulhomotópicas! A mi esto me parece bastante díficil de imaginar. Un ejemplo de una función \(f : S^3 \to S^{2}\) que no es nulhomotópica es la fibración de Hopf.

     Una buena manera de aprender a visualizar la fibración de Hopf es a través de sus fibras (claro): si \(p \in S^{2}\) es un punto, la fibra sobre \(p\) es, por definción, \(f^{{-1}}(p)\). En la fibración de Hopf, todas esas fibras son círculos. Esta animación mueve puntos de colores sobre \(S^{2}\) y muestra sus correspondientes fibras.

Fecha de entrega: [2020-12-03 Thu]

1. [Guillemin y Pollack, 1.6.2] Prueba que la relación de homotopía es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones suaves \(X \to Y\) (donde \(X\) y \(Y\) son dos variedades suaves). Es decir, prueba que para cualesquiera funciones suaves \(f,g,h : X \to Y\) se tiene que:

   a) \(f \sim f\)

   b) si \(f \sim g\), entonces \(g \sim f\)

   c) si \(f \sim g\) y \(g \sim h\), entonces \(f \sim h\).

   Esta última parte es fácil para homotopías continuas entre funciones continuas (o sea el concepto que se obtiene cambiando en la definción la palabra «suave» por la palabra «continua»), pero como estamos usando homotopías suaves entre funciones suaves hay una complicación, así que partimos este inciso en:

   c1) Escribe una fórmula simple para una homotopía continua \(f \sim h\) dadas homotopías suaves \(f \sim g\), \(g \sim h\), y explica por qué tu fórmula no necesariamente es una homotopía suave.

   c2) [Guillemin y Pollack, 1.6.1] Supón que \(F\) es una homotopía entre \(f\) y \(g\). Explica como modificar \(F\) para obtener otra homotopía \(\tilde{F}\) tal que \(\tilde{F}\) «se espera un rato en \(f\) y en \(g\)», o sea, tal que \(\tilde{F}(x,t) = f(x)\) para \(t \in [0, \frac14]\) y \(\tilde{F}(x,t) = g(x)\) para \(t \in [\frac34, 1]\).

   c3) Ahora sí, prueba la transitividad.

• Guillemin y Pollack, sección 1.6 (p. 33–39)