Estabilidad

Una propiedad de funciones suaves se dice que es estable si cada vez que \(f_{0} : X \to Y\) tiene la propiedad y \(F : X \times [0,1] \to Y\) es una homotopía con \(F(x,0) = f_{0}(x)\), entonces existe un \(\epsilon > 0\) tal que todas las funciones \(f_{t} : X \to Y)\) (donde \(f_t(x) = F(x,t)\)) con \(t < \epsilon\) tienen la propiedad también.

Consideren curvas en el plano \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{2}\), por ejemplo.

• Pasar por el origen no es una propiedad estable.
• Pasar por algún punto del disco abierto \(\{x \in \mathbb{R}^{2} : \lVert x \rVert < 1\}\) sí es una propiedad estable.
• Cortar al eje \(x\) no es una propiedad estable, pero cortarlo transversalmente sí.

Como sugiere el segundo ejemplo, la estabilidad es un análogo para conjuntos de funciones de la noción de conjunto abierto de puntos. Piensen intuitivamente que una vecindad de una función suave \(f : X \to Y\) está formada por aquellas funciones que se pueden conectar con \(f\) a través de una homotopía que «cambie muy poco la función», esto corresponde a la imagen de «mover poquito la gráfica de la función». La definición de estabilidad dice en esos términos que una propiedad es estable si cada vez que una función la tiene, las funciones de una pequeña «vecindad» de ella también la tienen.

Hay algunas dificultades técnicas para formalizar esa intuición, pero da la imagen correcta, particularmente en el caso en que \(X\) es compacto (como estamos trabajando con variedades encajadas en espacios euclideanos, compacto es sinónimo de cerrado y acotada aquí). Desde luego, a la hora de demostrar cosas lo que importa es la definición precisa.

1. ¿Por que los ejemplos de propiedades estables y no estables cumplen lo dicho? Una demostración formal no es tan importante como una buena intuición geométrica aquí.
2. Intenta visualizar el teorema de estabilidad. También lee la demostraciónen el libro de Guillemin y Pollack, no es muy difícil.
3. El teorema es falso si \(X\) no es compacto, hay un contraejemplo en el ejercicio 9 de la sección 1.6 del libro de Guillemin y Pollack.

No habrá tarea sobre este tema.

• Guillemin y Pollack, sección 1.6 (p. 33–39)