El teorema de Sard
El teorema de Sard
Sabemos ya que la preimagen de un valor regular de una función suave \(f : X \to Y\) es una subvariedad de \(X\), pero hasta ahora no hemos visto nada acerca de qué tan comunes son estos valores regulares. La respuesta la da el teorema de Sard:
Si \(f : X \to Y\) es una función suave entre variedades suaves, casi todo punto de \(Y\) es un valor regular de \(f\).
¿Qué quiere decir precisamente eso de «casi todo punto de \(Y\)»? Intuitivamente quiere decir que si uno elige un punto de \(Y\) al azar la probabilidad de que sea un valor regular es 1. O sea, si hay puntos de \(Y\) que no son valores regulares pero son súper escasos. Pero tiene un significado formal preciso que explicaremos a continuación.
Conjuntos de medida 0
Lo que quiere decir precisamente la frase «casi todo punto es un valor regular» es que el conjunto de puntos que no son valores regulares, es decir el conjunto de valores críticos, tiene medida 0 en \(Y\). No vamos a definir la medida de subconjuntos de \(Y\) en general, solo qué significa que un conjunto tenga medida igual a 0. La definición sigue el patrón general de definir primero el concepto para el caso \(Y = \mathbb{R}^n\) y luego extenderlo a variedades suaves arbitrarias usando parametrizaciones.
Empecemos entonces por definir cuando un subconjunto \(S \subset \mathbb{R}^{n}\) tiene medida 0. Para ser más precisos, estamos definiendo cuando tiene medida de Lebesgue 0. Definir la medida de Lebesgue en general es un poco técnico y se cubre en los cursos de Análisis. Pero el caso particular de tener medidad igual a 0 es fácil de definir y probablemente lo vieron en sus cursos de cálculo de varias variables. Les recuerdo las definiciones:
Una caja en \(\mathbb{R}^{n}\) es un conjunto de la forma \([a_1,b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_n, b_n]\) con \(a_i < b_i\) para \(i=1,2,\ldots,n\). Su volumen es \((b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_n-a_n)\).
Noten que por definición solo estamos considerando cajas con volumen positivo.
Un subconjunto \(S \subset \mathbb{R}^{n}\) se dice que tiene medida (de Lebesgue) 0, si para cualquier \(\epsilon>0\) se puede cubrir con una cantidad numerable cajas con volumen total menor que \(\epsilon\). Es decir \(S\) tiene medida 0 si para toda \(\epsilon>0\) existen cajas \(\{I_{n} : n \in \mathbb{N}\}\) tales que:
- \(S \subset \bigcup_{n} I_{n}\),
- la serie \(\sum_{n} \mathsf{vol}(I_{n})\) converge y
- \(\sum_{n} \mathsf{vol}(I_{n}) < \epsilon\).
(Usualmente cuando uno dice «\(\sum_{n} \mathsf{vol}(I_{n}) < \epsilon\)», se entiende que también está diciendo que la serie converge; lo menciono por separado solo por enfásis).
Ahora, extendemos la definición a variedades suaves:
Un subconjunto \(S \subset Y\) tiene medida 0 si para cualquier parametrización \(\phi : U \subset \mathbb{R}^k \to Y\) (con \(k = \dim Y\)) la preimagen \(\phi^{-1}(S)\) tiene medida 0 como subconjunto de \(\mathbb{R}^{k}\).
Resulta que no se necesita verificar esa condición para toda parametrización, basta verificarla para parametrizaciones cuyos dominios cubran a \(Y\).
En este curso no espero que lean la demostración del teorema de Sard, solo que entiendan como se usa el teorema. Pero si tienen curiosidad hay una demostración en el apéndice A del libro de Guillemin y Pollack.
Preguntas
- ¿Por qué cualquier conjunto numerable es de medida 0?
- Busca ejemplos de funciones suaves \(f : X \to Y\) tal que el conjunto de puntos de \(X\) que son puntos críticos de \(f\) no es de medida 0. Asegúrate de entender porque esto no contradice al teorema de Sard.
Tarea
Fecha de entrega:
- Sea \(Y\) una variedad suave. Si \(S_{n}\) es un subconjunto de \(Y\) con medida \(0\) para \(n \in \mathbb{N}\), prueba que la unión \(\bigcup_{n\in\mathbb{N} }S_{n}\) también es de medida \(0\).
- [Guillemin y Pollack, 1.7.1] Prueba que \(\mathbb{R}^{2} \times \{0\}\) es un subconjunto de medida \(0\) de \(\mathbb{R}^{3}\). (Ojo: las cajas que aparecen en la definición de medida 0 deben tener volumen positivo —cosa que se me había olvidado mencionar.)
- [Guillemin y Pollack, 1.7.6] Sea \(f : S^{1} \to S^{k}\) una función suave. Prueba que \(f\) es homotópica a una constante. (Sugerencia: ¿qué te dice aquí el teorema de Sard?)
Referencias
- Guillemin y Pollack, sección 1.7 (p. 33–39)