Comenzamos definiendo un campo y un espacio vectorial sobre un campo (es común observar que un campo es en particular un grupo abeliano ). Los ejemplos típicos de campos son el campo de los números reales R, el campo de los números complejos C y para cada número primo p en Z, el campo de los enteros módulo p, Z_p. Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rⁿ sobre el campo R, Cⁿ sobre el campo C (en general, Fⁿ sobre cualquier campo F), al igual que los siguientes ejemplos con las correspondientes operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares:

• Polinomios con coeficientes en un campo F

P(F) = {a₀ + a₁t + a₂t² + ... + a_ntⁿ | a_i Î F y n Î N}

• Funciones de un conjunto X en un campo F

F(S, F) = {f : X ® F | f es una función}

• Funciones continuas de un espacio topológico X en un campo F con una topología en él definida

C(X, F) = {f : X ® F | f es una función continua}

• Matrices de n x m con entradas en un espacio vectorial V sobre un campo F

Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campo F cuyas pruebas se dejan como ejercicios:

1. (Ley de la cancelación) Si x, y, z Î V y x + z = y + z, entonces x = y
2. El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x Î V, x + 0 = x
3. Para toda x Î V, 0x = 0
4. Para todo a Î F y x Î V, (-a)x = -(ax)
5. Para toda a Î F, a0 = 0

Se define un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar que un subconjunto W Í V es un subespacio si y sólo si para todos a, b Î F y x, y Î V, ax + by Î V. Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de M_{n x n}(V) formados por matrices (1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero. Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera) subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo, esto no sucede con la unión (como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R² que pasen por el origen).

Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por <S> al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que <S> es precisamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir,

<S> = {a₁x₁ + ... + a_nx_n | n Î N, a_i Î F y x_i Î V}.

Definimos la suma de un número finito de subconjuntos S₁, ..., S_n de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W₁, ..., W_n £ V, entonces

W₁ + ... + W_n = <W₁ È ... È W_n>

Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W₁, W₂ £ V, y es fácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x Î W₁ y y Î W₂ tales que z = x + y).

Definimos el que un subconjunto S Í V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.

Para definir la dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S Í V y x Î V - S, entonces el conjunto S È {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.

Demostración

TEOREMA I.2 Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S₀ Í b con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S È S₀) = V.

Demostración

Como consecuencia del teorema I.2 tenemos el siguiente resultado.

COROLARIO I.3 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V linealmente independiente con n elementos es también una base de V.

Demostración

COROLARIO I.4 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V con más de n elementos es linealmente dependiente. Por lo tanto, cualquier subconjunto linealmente independiente de V contiene como máximo n elementos.

Demostración

Con estos resultados podemos finalmente argumentar que en un espacio vectorial con un conjunto generador finito, la dimennsión está bien definida, como así lo indica el siguiente corolario.

COROLARIO I.5 Si V posee una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V deberá tener también n elementos.

Demostración

En caso de que un espacio vectorial no posea una base finita, la dimensión se define como infinito.

TEOREMA I.6 Si V es un espacio vectorial sobre un campo F tal que dim(V) = n, entonces para cualquier subespacio W £ V se tiene que dim(W) £ n, con dim(W) = n si y sólo si W = V.

Demostración

COROLARIO I.7 Si b es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita dim(V) = n y S Í V es un subconjunto linealmente independiente (y por lo tanto |S| = k £ n), entonces podemos encontrar un subconjunto S₀ Í b con exáctamente n - k elementos y tal que S È S₀ es una base de V.

Demostración

Terminamos esta sección con un resultado que en particular proporciona un criterio de suma directa.

TEOREMA I.8 Si W₁ , W₂ £ V, con dim(V) = n, entonces

dim(W₁ + W₂) = dim(W₁) + dim(W₂) - dim(W₁ Ç W₂),

y por lo tanto V = W₁ Å W₂ si y sólo si dim(V) = dim(W₁) + dim(W₂).

Demostración