Comenzamos definiendo un
campo
y un
espacio vectorial
sobre un campo (es común observar que un campo es en particular un
grupo abeliano
). Los ejemplos típicos de campos son el campo de los números reales R, el campo de los números complejos C y
para cada número primo p en Z, el campo de los enteros módulo p, Zp.
Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rn sobre el campo R, Cn
sobre el campo C (en general, Fn sobre cualquier campo F), al igual que los siguientes ejemplos
con las correspondientes operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares:
- Polinomios con coeficientes en un campo F
P(F) = {a0 + a1t + a2t2 + ...
+ antn | ai
Î F y n Î N}
- Funciones de un conjunto X en un campo F
F(S, F) = {f : X ® F | f es una función}
- Funciones continuas de un espacio topológico X en un campo F con una topología en él definida
C(X, F) = {f : X ® F | f es una función continua}
- Matrices de n x m con entradas en un espacio vectorial V sobre un campo F
Mn x m(V) = {(
|
a1,1
|
...
|
a1,m
|
:
|
|
:
|
an,1
|
...
|
an,m
|
|
) | ai,j Î V, con 1 £ i £ n y
1 £ j £ m}
|
Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campo F cuyas pruebas se dejan como ejercicios:
- (Ley de la cancelación)
Si x, y, z Î
V y x + z = y + z,
entonces x = y
- El vector 0 es único con la propiedad de que para toda
x Î V, x + 0 = x
- Para toda x Î V, 0x = 0
- Para todo a Î F y x Î V,
(-a)x = -(ax)
- Para toda a Î F, a0 = 0
Se define un
subespacio
de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar que un subconjunto W Í V es un subespacio si y sólo si
para todos a, b Î F y x, y Î
V, ax + by Î V.
Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de
Mn x n(V) formados por matrices
(1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero.
Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera) subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo,
esto no sucede con la unión (como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R2 que pasen por el origen).
Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por <S> al
subespacio generado
por S, y se demuestra fácilmente que <S> es precisamente el conjunto de todas las
combinaciones lineales
de elementos de S, es decir,
<S> = {a1x1 + ... +
anxn | n
Î N, ai Î F y
xi Î V}.
Definimos la
suma
de un número finito de subconjuntos
S1, ..., Sn de un espacio vectorial V sobre un campo F y
se verifica directamente que si W1, ..., Wn £ V, entonces
W1 + ... + Wn =
<W1 È ... È Wn>
Se define el que un espacio vectorial V sea la
suma directa
de dos de sus subespacios W1, W2 £ V, y es fácil ver que
éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x Î W1 y
y Î W2 tales que z = x + y).
Definimos el que un subconjunto S Í V sea un subconjunto
generador.
Definimos también
(in)dependencia lineal
y finalmente se define una
base
como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido
de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.
Para definir la
dimensión
de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S Í V y
x Î V - S, entonces el conjunto S È {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S).
Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.
TEOREMA I.1
Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para
V, y por lo tanto V posee una base finita.
Demostración
TEOREMA I.2
Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de
V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar
un subconjunto S0 Í b con
exáctamente n - m elementos de forma tal que
L(S È S0) = V.
Demostración
Como consecuencia del teorema I.2 tenemos el siguiente resultado.
COROLARIO I.3
Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V linealmente independiente con
n elementos es también una base de V.
Demostración
COROLARIO I.4
Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V
con más de n elementos es linealmente dependiente. Por lo tanto,
cualquier subconjunto linealmente independiente de V contiene como máximo n elementos.
Demostración
Con estos resultados podemos finalmente argumentar que en un espacio
vectorial con un conjunto generador finito, la dimennsión está bien
definida, como así lo indica el siguiente corolario.
COROLARIO I.5
Si V posee una base con n elementos, entonces cualquier
otra base de V deberá tener también n elementos.
Demostración
En caso de que un espacio vectorial no posea una base finita, la dimensión
se define como infinito.
TEOREMA I.6
Si V es un espacio vectorial sobre un campo F
tal que dim(V) = n, entonces para cualquier
subespacio W £ V se tiene que
dim(W) £ n, con dim(W) = n
si y sólo si W = V.
Demostración
El siguiente corolario refuerza el teorema I.2.
COROLARIO I.7
Si b es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita dim(V) = n y S Í V es un subconjunto
linealmente independiente (y por lo tanto |S| = k £ n), entonces podemos encontrar
un subconjunto S0 Í b con exáctamente n - k elementos y tal que S È S0
es una base de V.
Demostración
Terminamos esta sección con un resultado que en particular proporciona un criterio de suma directa.
TEOREMA I.8
Si W1 , W2 £ V, con
dim(V) = n, entonces
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 Ç W2),
y por lo tanto V = W1 Å W2 si y sólo si
dim(V) = dim(W1) + dim(W2).
Demostración
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