Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V ® W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) £ V y R(T) £ W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).

TEOREMA 2.1 Si T : V ® W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}.

Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones son equivalentes:

• T es inyectiva
• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)
• Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente

También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V ® W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.

LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que b = {x₁, ..., x_n} es una base de V. Entonces para todo {y₁, ..., y_n} í W, existe una unica transformación lineal T : V ® W tal que T(x_i) = y_i para toda i = 1, ..., n.

Demostración

TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).

Demostración

Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x₁, ..., x_m) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a₁, ..., a_m Î F tales que x = a₁x₁ + ... + a_mx_m. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como

Es fácil ver que el mapeo x |® [ x ]_b constituye un isomorfismo ç : V ® M_{n x 1}(F).

Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x₁, ..., x_m} una base ordenada de V y g = {y₁, ..., x_n} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como

TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x₁, ..., x_m} una base ordenada de V y g = {y₁, ..., y_n} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T |® [T]_b^g constituye un isomorfismo F : L(V, W) ® M_{n x m}(F). Más aún, para toda A Î M_{n x m}(F), se tiene que F^-1(A) Î L(V, W) es tal que [F^-1(A)]_b^g = A.

Demostración

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T Î L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas b y g de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relación entre estas matrices.

TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si b, b' son dos bases ordenadas de V y g g' son dos bases ordenadas de W, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T |® [T]_b^g constituye un isomorfismo F : L(V, W) ® M_{n x m}(F). Más aún, para toda A Î M_{n x m}(F), se tiene que F^-1(A) Î L(V, W) es tal que [F^-1(A)]_b^g = A.