Tarea 2                                 Álgebra Moderna I



  1. Si $ H,K \unlhd G$, $ H\cap K=\{e\}$ y $ \langle H, K\rangle=G$, muestra que $ K$ es isomorfo a $ G/H$.
  2. Sea $ H\unlhd G$ tal que $ [G:H]=p$ ($ p$ primo). Muestra que si $ K\leq G$ no está contenido en $ H$ entonces $ G=HK$ y $ [K:K\cap H]=p$.
  3. Si $ H,K \unlhd G$ con $ G=HK$, muestra que $ G/(H\cap K)$ es isomorfo a $ (G/H)\times(G/K)$.
  4. Si $ \xymatrix{\mathcal{S}:\;\;1\ar[r]&G'\ar[r]^f&G\ar[r]^g&G''\ar[r]&1}$ es una sucesión de morfismos de grupos, decimos que $ \mathcal{S}$ es exacta si $ f$ es inyectiva, $ g$ es suprayectiva y $ \mathrm{ker}(g)=\mathrm{im}(f)$. Muestra lo siguiente:
    1. $ \mathcal{S}$ es exacta si y sólo si existe $ H\unlhd G$ y un diagrama conmutativo:

      $\displaystyle \xymatrix{1\ar[r]&G' \ar[r]^f& G \ar[r]^g& G''\ar[r] &1\\ 1\ar[r... ...varphi}& G \ar[r]_-{\pi}\ar[u]\vert{\mathrm{id}}& G/H\ar[r]\ar[u]\vert{\psi}&1}$

      donde $ \varphi$ y $ \psi$ son isomorfismos.
    2. Si $ \mathcal{S}$ es una sucesión exacta con $ G'$ y $ G''$ grupos finitamente generados entonces $ G$ es finitamente generado.
  5. Si $ G$ es un grupo y

    $\displaystyle \mathcal{C}:\;G_n\leq G_{n-1} \leq \dots \leq G_1\leq G_0=G $

    es una cadena de subgrupos de $ G$, decimos que $ \mathcal{C}$ es una cadena normal de $ G$, si $ G_{i+1}\unlhd G_i$ para toda $ i$. Si $ \mathcal{C}$ es una cadena normal de $ G$, decimos que $ \mathcal{C}$ es abeliana (resp. cíclica) si $ G_i/G_{i+1}$ es un grupo abeliano (resp. cíclico) para toda $ i$.
    1. Muestra que si $ G\stackrel{f}{\to}G'$ es un morfismo de grupos y $ \mathcal{C}$ es una cadena abeliana (resp. cíclica) de $ G'$, entonces $ f^{-1}\big(\mathcal{C}\big)$ es una cadena abeliana (resp. cíclica) de $ G$.
    2. Muestra que si $ G$ es un grupo y $ H\unlhd G$, entonces $ G$ es soluble (es decir, $ G$ tiene una cadena abeliana con $ G_n=\{e\}$) si y sólo si $ H$ y $ G/H$ son solubles.
  6. Si $ G$ es un grupo abeliano finito y $ p$ es número primo que divide al orden de $ G$, entonces $ G$ tiene un elemento de orden $ p$.