Tarea-Examen 3 Álgebra Moderna I

1. Sea G un grupo y H ≤ G. Muestra que H es normal en G si y sólo si H es unión de clases de conjugación de G.

2. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Si x, y ∈ X están en la misma orbita, da un isomorfismo entre el estabilizador de x y el estabilizador de y.

3. Muestra que si G es un grupo finito y H ≤ G con [G : H] = p, donde p es el primo más pequeño que divide al orden de G, entonces H es normal en G.

4. Muestra que si G es un grupo finito de orden pn, donde p es número primo mayor o igual que n, entonces G tiene un subgrupo normal de orden p.

5. Si G es grupo no abeliano de orden p^{3}, muestra lo siguiente:

(a) Z(G) es cíclico de orden p.

(b) G/Z(G) es isomorfo a Z(G) × Z(G).

(c) Si g^{p} ≡ 1 para todo g ∈ G, entonces G tiene un subgrupo de orden p^{2}.

SUERTE!!!